Révisions de Thermodynamique, fluides, optique et ondes, Passage MPSI → MP

Révisions de Thermodynamique en prépa MPSI : 25 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 7 chapitres de la fiche

Premier principe et transformations du gaz parfait

À maîtriser :

Définir le système fermé étudié et écrire le premier principe entre deux états d'équilibre : $\Delta U = W + Q$, $U$ étant une fonction d'état.
Pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$ (première loi de Joule) : $dU=nC_{v,m}\,dT$, $\Delta U=nC_{v,m}\Delta T$ quel que soit le chemin suivi entre les deux états.
Calculer le travail des forces de pression selon la transformation : $\delta W=-P_{ext}\,dV$ ; isochore $W=0$ ; monobare (réversible ou non) $W=-P_{ext}\Delta V$ ; isotherme réversible $W=-nRT\ln(V_f/V_i)$.
Introduire l'enthalpie $H=U+PV$, fonction d'état, telle que pour une transformation monobare avec $P_i=P_f=P_{ext}$, $\Delta H=Q_p$ ; pour un gaz parfait $dH=nC_{p,m}\,dT$ (seconde loi de Joule), avec la relation de Mayer $C_{p,m}-C_{v,m}=R$.
Reconnaître l'adiabatique réversible d'un gaz parfait ($Q=0$, transformation réversible) : lois de Laplace $PV^\gamma=\text{cste}$, $TV^{\gamma-1}=\text{cste}$, $T^\gamma P^{1-\gamma}=\text{cste}$, avec $\gamma=C_{p,m}/C_{v,m}$.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Second principe et entropie

À maîtriser :

Énoncer le second principe pour un système fermé : $dS=\delta S_e+\delta S_c$, avec $\delta S_e=\dfrac{\delta Q}{T_{frontière}}$ et $S_c\ge0$, l'égalité $S_c=0$ ayant lieu si et seulement si la transformation est réversible.
Distinguer $S$, fonction d'état calculable sur un chemin réversible fictif entre les deux mêmes états, de $S_e$ et $S_c$, qui dépendent du chemin réellement suivi et de la température de la frontière qui échange effectivement la chaleur.
Pour un gaz parfait, utiliser les identités thermodynamiques $dU=TdS-PdV$ et $dH=TdS+VdP$ pour établir $\Delta S=nC_{v,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}+nR\ln\dfrac{V_f}{V_i}=nC_{p,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}-nR\ln\dfrac{P_f}{P_i}$.
Calculer $S_c$ par différence, $S_c=\Delta S-S_e$, une fois $\Delta S$ (chemin fictif réversible) et $S_e$ (chemin réel) déterminés séparément : ne jamais mélanger les deux chemins dans un même calcul.
Repérer les sources usuelles d'irréversibilité : détente contre une pression extérieure différente de la pression du gaz, contact thermique direct entre deux corps à températures différentes, frottements solides ou visqueux.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Machines thermiques

À maîtriser :

Décrire un cycle ditherme : chaleur $Q_c$ échangée avec la source chaude, $Q_f$ avec la source froide, travail $W$ reçu par le fluide sur un cycle ; premier principe sur le cycle : $\Delta U=0=W+Q_c+Q_f$ (toutes les grandeurs comptées algébriquement, reçues par le fluide).
Second principe sur un cycle complet : $\Delta S=0=\dfrac{Q_c}{T_c}+\dfrac{Q_f}{T_f}+S_c$, avec $S_c\ge0$ sur le cycle entier (le fluide revient à son état initial, mais l'entropie créée pendant le cycle est bien positive ou nulle).
Définir le rendement d'un moteur $\eta=\dfrac{-W}{Q_c}$ (énergie utile récupérée sur énergie payée) et l'efficacité d'une machine frigorifique ou d'une pompe à chaleur, $e=\dfrac{Q_f}{-W}$ ou $e=\dfrac{-Q_c}{-W}$ selon l'effet utile recherché (froid ou chaud).
Théorème de Carnot : à $T_c$ et $T_f$ fixées, toute machine ditherme a un rendement (ou une efficacité) borné par celui du cycle de Carnot réversible correspondant, $\eta_{Carnot}=1-\dfrac{T_f}{T_c}$, borne atteinte si et seulement si $S_c=0$.
Lire un cycle sur un diagramme : en $(P,V)$, l'aire algébrique délimitée donne le travail échangé (signe selon le sens de parcours, horaire = cycle moteur) ; en $(T,S)$, l'aire délimitée donne directement la chaleur échangée.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Optique géométrique : lentilles minces

À maîtriser :

Conditions de Gauss : rayons peu inclinés sur l'axe optique et proches de celui-ci, condition nécessaire pour que le système soit stigmatique et aplanétique de façon approchée, et donc pour appliquer les relations de conjugaison.
Relation de conjugaison d'une lentille mince avec origine au centre optique : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}=V$ (vergence en dioptries si les distances sont en mètres), et grandissement transversal $\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
Construire l'image d'un objet à l'aide de deux rayons remarquables parmi trois (parallèle à l'axe puis émergent par $F'$ ; passant par $O$ sans déviation ; passant par $F$ puis émergent parallèle à l'axe), et reconnaître sur le schéma une image réelle (les rayons émergents se croisent effectivement) ou virtuelle (seuls leurs prolongements se croisent).
Orienter une fois pour toutes l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière et compter toutes les distances algébriquement dans ce même sens ; un objet est réel si la lumière incidente diverge effectivement de lui, virtuel s'il s'agit de l'image (non encore formée) d'un système optique précédent.
Associer deux lentilles : construire l'image intermédiaire donnée par la première lentille, qui sert ensuite d'objet, réel ou virtuel selon sa position par rapport à la seconde lentille, en travaillant dans le repère propre à chaque lentille (origine au centre optique de la lentille considérée).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Interférences et superposition d'ondes

À maîtriser :

Superposer deux ondes scalaires de même pulsation en un point : $s=s_1+s_2$ avec $s_1=a\cos(\omega t)$ et $s_2=a\cos(\omega t+\varphi)$ ; l'intensité résultante $I=2I_0(1+\cos\varphi)$ ne dépend que du déphasage $\varphi$, constructive si $\varphi=2k\pi$, destructive si $\varphi=(2k+1)\pi$.
Relier déphasage et différence de marche : $\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\delta$ ; ordre d'interférence $p=\delta/\lambda$, entier pour une frange brillante, demi-entier pour une frange sombre.
Établir la formule des interférences à deux ondes issues de fentes d'Young (division du front d'onde) : différence de marche $\delta\approx\dfrac{ax}{D}$ ($a$ écartement des fentes, $D$ distance à l'écran, $x$ position sur l'écran), interfrange $i=\dfrac{\lambda D}{a}$.
Distinguer cohérence et incohérence : deux sources ne produisent une figure d'interférence observable que si elles sont mutuellement cohérentes (même fréquence, déphasage constant) ; la cohérence temporelle d'une source réelle est limitée par sa largeur spectrale $\Delta\lambda$, ce qui borne la différence de marche maximale observable à la longueur de cohérence $\ell_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda$.
Reconnaître un battement : superposition de deux ondes de pulsations voisines mais différentes ($\omega_1\neq\omega_2$), dont l'amplitude résultante est modulée dans le temps ; phénomène temporel, à ne pas confondre avec une figure d'interférences spatiale fixe obtenue à pulsation unique.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Statique des fluides

À maîtriser :

Pression en un point d'un fluide au repos : grandeur scalaire et isotrope, exprimée en pascal (Pa) ; la force élémentaire exercée par le fluide sur une surface $dS$ de normale sortante $\hat n$ s'écrit $d\vec F = -p\,\hat n\,dS$.
Loi fondamentale de la statique des fluides dans le champ de pesanteur uniforme $\vec g = -g\hat z$ (axe $z$ vertical ascendant) : équation locale $\dfrac{dp}{dz} = -\rho g$, obtenue par un bilan des forces de pression et du poids sur une tranche élémentaire de fluide.
Fluide incompressible et homogène ($\rho$ constante) : intégration directe de la loi fondamentale, loi hydrostatique linéaire $p(z) = p(z_0) - \rho g(z-z_0)$, soit $p+\rho g z = \text{cte}$.
Atmosphère isotherme assimilée à un gaz parfait de masse molaire $M$ à la température $T$ : profil de pression exponentiel $p(z) = p_0\,e^{-z/H}$, de hauteur caractéristique $H = \dfrac{RT}{Mg} = \dfrac{k_BT}{mg}$.
Résultante des forces de pression sur une surface immergée (paroi plane ou surface fermée) : intégrale de $-p\,\hat n\,dS$ ; pour un solide totalement immergé, théorème d'Archimède $\vec\Pi_A = \rho_{fluide}\,V_{immergé}\,g\,\hat z$ (poussée verticale ascendante), appliquée au centre de poussée, centre de gravité du volume de fluide déplacé.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Propagation d'un signal, ondes progressives

À maîtriser :

Onde progressive unidimensionnelle : toute grandeur de la forme $s(x,t) = f(x-ct)$ se propage sans déformation à la célérité $c$ vers les $x$ croissants (celle de la forme $f(x+ct)$ se propage vers les $x$ décroissants) ; elle vérifie l'équation de d'Alembert $\dfrac{\partial^2 s}{\partial x^2} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0$.
Onde progressive périodique : double périodicité, temporelle $T$ et spatiale $\lambda$ (longueur d'onde), reliées par $c = \lambda/T = \lambda f$.
Onde progressive harmonique $s(x,t) = A\cos(\omega t - kx+\varphi)$, de nombre d'onde $k = \omega/c = 2\pi/\lambda$ ; entre deux points distants de $d$, déphasage $\Delta\varphi = kd = 2\pi d/\lambda$ et retard temporel équivalent $\tau = d/c$ (cas notamment d'une onde sonore, de célérité $c \approx 340$ m/s dans l'air).
Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités (corde de Melde) : superposition de deux ondes progressives de même amplitude se propageant en sens opposés ; nœuds et ventres fixes, fréquences propres $f_n = n\dfrac{c}{2L}$ ($n\in\mathbb N^*$), avec $c=\sqrt{T/\mu}$ (tension $T$, masse linéique $\mu$).
Diffraction : une onde de longueur d'onde $\lambda$ traversant une ouverture de taille $a$ est diffractée avec une ouverture angulaire de l'ordre de $\lambda/a$ (effet sensible dès que $a$ est de l'ordre de $\lambda$, négligeable si $a \gg \lambda$).

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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