Révisions de SI, Passage MPSI → MP

Révisions de SI en prépa MPSI (sup vers spé MP) : 25 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 5 chapitres de la fiche

Analyse et modélisation des systèmes

À maîtriser :

  • Chaîne d'énergie : alimenter $\to$ distribuer/moduler $\to$ convertir $\to$ transmettre, jusqu'à l'effecteur qui agit sur la matière d'oeuvre.
  • Chaîne d'information, en parallèle : acquérir $\to$ traiter $\to$ communiquer, avec un retour d'état fourni par un capteur.
  • Préactionneur (distributeur, contacteur, variateur) : module la puissance disponible sur ordre de la partie commande. Actionneur (vérin, moteur) : convertit cette puissance en énergie mécanique.
  • Transmetteur (réducteur, système vis-écrou, poulie-courroie) : adapte vitesse et effort entre actionneur et effecteur, sans changer la nature de l'énergie.
  • Écart entre performance attendue $X_a$ (cahier des charges) et performance mesurée ou simulée $X_m$ : $$\varepsilon = \dfrac{|X_m - X_a|}{X_a}$$ à comparer à la flexibilité tolérée par le critère du cahier des charges.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Cinématique du solide

À maîtriser :

  • Liaison définie par ses mobilités : pivot (1 rotation), glissière (1 translation), pivot glissant (1 rotation + 1 translation), rotule (3 rotations), appui plan (2 translations + 1 rotation).
  • Champ des vitesses d'un solide : $\vec V(B \in S/R) = \vec V(A \in S/R) + \vec\Omega(S/R) \wedge \vec{AB}$ ; pour une rotation autour d'un axe fixe, $\vec V(M\in S/R) = \vec\Omega(S/R) \wedge \vec{OM}$.
  • Vis-écrou de pas $p$ : $$x = \dfrac{p}{2\pi}\theta \quad\Rightarrow\quad \dot x = \dfrac{p}{2\pi}\dot\theta$$
  • Pignon-crémaillère (rayon primitif $R$) : $\dot x = R\dot\theta$. Train d'engrenages simple : $k = \dfrac{\omega_s}{\omega_e} = \pm\dfrac{Z_e}{Z_s}$ (signe négatif pour un engrenage extérieur, positif pour un engrenage intérieur).
  • Roulement sans glissement (RSG) au point de contact $I$ entre deux solides $S_1$ et $S_2$ : $\vec V(I\in S_1/R) = \vec V(I\in S_2/R)$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Statique des solides

À maîtriser :

  • Torseur d'action mécanique en un point $A$ : $$\{\mathcal T_{i\to j}\} = \left\{\begin{matrix}\vec R_{i\to j}\\ \vec M_A(i\to j)\end{matrix}\right\}_A$$ avec relation de transport des moments $\vec M_B = \vec M_A + \vec{BA}\wedge\vec R$.
  • Principe fondamental de la statique (solide isolé, en équilibre) : $$\sum \vec R_{ext\to S} = \vec 0 \qquad \sum \vec M_A(ext\to S) = \vec 0$$ les deux relations étant écrites au même point $A$.
  • Problème plan à 2 forces : solide en équilibre sous 2 actions mécaniques $\Rightarrow$ ces deux forces ont même droite d'action, même norme et sont de sens opposés.
  • Problème plan à 3 forces : solide en équilibre sous 3 actions non parallèles $\Rightarrow$ leurs droites d'action sont concourantes en un même point (théorème des 3 forces).
  • Lois de Coulomb : au glissement imminent, $\|\vec T\| = f\|\vec N\|$, soit $\tan\varphi = f$ ($\varphi$ = angle de frottement) ; tant qu'il n'y a pas glissement, $\|\vec T\| \le f\|\vec N\|$.

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Systèmes asservis

À maîtriser :

  • Structure d'un asservissement : chaîne directe (correcteur puis système) et chaîne de retour (capteur de gain $m$, souvent $m=1$) ; écart $\varepsilon(p) = E(p) - mS(p)$, sortie $S(p) = FTBF(p)\,E(p)$.
  • Transformée de Laplace des signaux usuels : échelon d'amplitude $E_0$ : $E(p) = E_0/p$ ; rampe de pente $a$ : $E(p) = a/p^2$.
  • Premier ordre $H(p) = \dfrac{K}{1+\tau p}$ : réponse à un échelon $E_0$, $s(t) = KE_0(1-e^{-t/\tau})$ ; temps de réponse à 5% : $t_{r5\%} \approx 3\tau$.
  • Deuxième ordre $H(p) = \dfrac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}$ : régime pseudo-périodique si $\xi<1$ ; dépassement relatif du premier maximum $D_1 = e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$.
  • Théorème de la valeur finale (système stable) : $\lim_{t\to\infty}s(t) = \lim_{p\to 0}p\,S(p)$, utilisé pour calculer l'erreur statique $\varepsilon_s = \lim_{p\to 0}p\,\varepsilon(p)$.

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Chaîne d'information : logique et comportements séquentiels

À maîtriser :

  • Chaîne d'information : acquérir (capteurs) $\to$ traiter (logique câblée ou programmée) $\to$ communiquer (afficheur, réseau, actionneur en aval), en parallèle de la chaîne d'énergie, avec un retour d'état qui boucle sur la partie commande.
  • Caractéristiques d'un capteur : étendue de mesure (plage de la grandeur mesurable), résolution (plus petite variation détectable), sensibilité $S = \Delta Y/\Delta X$ (pente de la caractéristique). Codeur incrémental de $N$ traits par tour : résolution angulaire $\theta = 360°/N$ par front détecté.
  • Conversion analogique-numérique sur $n$ bits : le quantum vaut $$q = \dfrac{X_{PE}}{2^n}$$ avec $X_{PE}$ la pleine échelle, et l'erreur de quantification maximale commise sur toute mesure vaut $q/2$ (résultat démontré en cours).
  • Logique combinatoire : fonctions ET ($X.Y$), OU ($X+Y$), NON ($\overline X$), décrites par une table de vérité complète ; simplification par l'algèbre de Boole, notamment le théorème d'absorption généralisé $X+\overline X.Y = X+Y$ et les lois de De Morgan $\overline{X.Y}=\overline X+\overline Y$, $\overline{X+Y}=\overline X.\overline Y$.
  • Logique séquentielle : diagramme d'états SysML (ou Grafcet), où chaque état porte des actions et chaque transition est déclenchée par un événement soumis à une condition de garde ; un état ne doit jamais être un puits sans transition de sortie exploitable, sous peine de blocage du système.

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