Révisions de Probabilités, Passage MPSI → MP

Révisions de Probabilités en prépa MPSI : 34 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 8 chapitres de la fiche

Dénombrement

À maîtriser :

Distinguer les quatre objets de base : listes avec répétition ($n^p$ choix ordonnés, répétition permise), arrangements ($A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$, choix ordonnés sans répétition), permutations ($n!$, tous les éléments, sans répétition), combinaisons ($\binom{n}{p}$, choix non ordonnés sans répétition).
Le réflexe du double comptage : compter le même ensemble de deux façons différentes pour obtenir une formule, plutôt que de manipuler des factorielles à l'aveugle.
Le principe multiplicatif pour décomposer un dénombrement en étapes indépendantes, et savoir reconnaître quand deux étapes ne le sont pas.
Se poser systématiquement, avant tout calcul, les deux questions : y a-t-il répétition possible, et l'ordre compte-t-il ?
La formule du crible (inclusion-exclusion) pour dénombrer une réunion de plusieurs ensembles qui se recoupent.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Identités combinatoires

À maîtriser :

La formule de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$, prouvée en distinguant si un élément fixé appartient ou non au sous-ensemble choisi.
La formule du binôme de Newton $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}$, avec les cas particuliers $a=b=1$ (la somme des $\binom{n}{k}$ vaut $2^n$) et $a=1,\,b=-1$ (la somme alternée est nulle pour $n\ge 1$).
La formule de Vandermonde $\sum_{k=0}^n \binom{p}{k}\binom{q}{n-k}=\binom{p+q}{n}$, à retenir comme un dénombrement en deux étapes d'un même ensemble scindé en deux parties.
Le réflexe méthodologique : une identité entre coefficients binomiaux se prouve en interprétant chaque membre comme le cardinal (ou le coefficient) d'un même objet compté de deux manières différentes, jamais par un calcul brut de factorielles.
Reconnaître, derrière un produit de polynômes, une identité combinatoire cachée : comparer les coefficients d'un même monôme dans deux écritures d'une même expression est une forme de double dénombrement.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Espaces probabilisés finis

À maîtriser :

Modéliser un univers fini $\Omega$ et une probabilité $P$ : $P(\Omega)=1$, $P(\emptyset)=0$, et la somme des probabilités des issues élémentaires vaut toujours 1, à vérifier avant tout calcul.
La formule $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, et sa généralisation par la formule du crible pour trois événements ou plus.
Distinguer incompatibilité ($A\cap B=\emptyset$, une propriété des issues) et indépendance ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$, une propriété des probabilités) : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
L'indépendance ne se décrète jamais : elle se justifie soit par un calcul explicite, soit par une hypothèse de modélisation (expériences répétées de façon indépendante).
Le passage au complémentaire $P(\bar A)=1-P(A)$, souvent le chemin le plus court pour une probabilité du type « au moins un ».

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Probabilités conditionnelles

À maîtriser :

La définition $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ pour $P(B)>0$, et la formule des probabilités composées $P(A\cap B)=P(B)\,P_B(A)$, généralisable à une chaîne d'événements.
Un système complet d'événements $(B_i)_i$ : une partition de $\Omega$ (les $B_i$ deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$), avec $\sum_i P(B_i)=1$.
La formule des probabilités totales $P(A)=\sum_i P(B_i)\,P_{B_i}(A)$, et la formule de Bayes $P_A(B_i) = \dfrac{P(B_i)\,P_{B_i}(A)}{\sum_j P(B_j)\,P_{B_j}(A)}$ pour « retourner » un conditionnement.
Le réflexe méthodologique : face à une situation en deux temps (un choix suivi d'un tirage, une cause suivie d'un effet), construire d'abord le système complet correspondant à la première étape.
Ne jamais confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ce sont deux quantités a priori différentes, et c'est précisément l'objet de la formule de Bayes que de passer de l'une à l'autre.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Variables aléatoires finies

À maîtriser :

Une variable aléatoire finie $X:\Omega\to X(\Omega)$ (avec $X(\Omega)$ fini) est décrite par sa loi $\big(P(X=x)\big)_{x\in X(\Omega)}$, avec toujours $\sum_{x} P(X=x)=1$ : à vérifier systématiquement.
La fonction de répartition $F_X(t)=P(X\le t)$ : croissante, en escalier pour une variable finie, nulle avant le minimum de $X(\Omega)$, égale à 1 à partir du maximum.
Le théorème de transfert : $E\big(g(X)\big)=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)\,P(X=x)$, qui dispense de déterminer la loi de $g(X)$.
Pour un couple $(X,Y)$, la loi conjointe $P(X=x,Y=y)$ détermine les lois marginales par sommation en ligne et en colonne ; l'indépendance de $X$ et $Y$ se vérifie coefficient par coefficient, jamais supposée.
Construire un système complet à partir des valeurs prises par $X$ est souvent le moyen le plus direct de calculer la loi d'une fonction de $X$, ou de $(X,Y)$.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Espérance et variance

À maîtriser :

La linéarité de l'espérance $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$ : elle est toujours vraie, y compris si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
La méthode de l'indicatrice : pour compter un nombre aléatoire d'objets ou d'événements, écrire $N=\sum_i \mathbb{1}_{A_i}$ et calculer $E(N)=\sum_i P(A_i)$ par linéarité, sans jamais déterminer la loi de $N$.
La formule de König-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$, l'outil de calcul quasi systématique de la variance.
$V(aX+b)=a^2V(X)$, et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes (ou, plus généralement, non corrélées) : piège symétrique de celui de l'espérance.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev $P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) \le \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$, pour majorer une probabilité de dispersion sans connaître la loi exacte.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Lois usuelles finies

À maîtriser :

Loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$ : $E(X)=\dfrac{n+1}{2}$, $V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}$, des formules à savoir retrouver et non seulement citer.
Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ vue comme somme de $n$ Bernoulli indépendantes de même paramètre : $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.
Reconnaître un schéma de Bernoulli (répétitions indépendantes d'une expérience à deux issues) derrière un énoncé habillé, avant de choisir une loi.
Loi hypergéométrique (tirage sans remise) : même espérance $np$ que la binomiale, mais variance plus petite (dépendance négative entre les tirages), à distinguer systématiquement du tirage avec remise.
Le réflexe « avec remise ou sans remise ? » fixe à lui seul le choix entre indicatrices indépendantes (binomiale) et indicatrices dépendantes (hypergéométrique), donc la formule de variance à utiliser.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Ouverture vers la MP : l'univers infini

À maîtriser :

L'univers devient infini dénombrable ($\Omega=\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$) : $\sum_n P(X=n)=1$ devient une condition de convergence de série, plus une simple somme finie.
La loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ sur $\mathbb{N}^*$ modélise le rang du premier succès d'un schéma de Bernoulli répété indéfiniment : $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, avec la propriété d'absence de mémoire.
La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ sur $\mathbb{N}$, obtenue comme limite de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,\lambda/n)$ quand $n\to\infty$ : le modèle des événements rares.
La fonction génératrice $G_X(t)=E(t^X)=\sum_n P(X=n)\,t^n$ encode toute la loi de $X$ en une seule série entière ; $G_X'(1)=E(X)$, et le produit de deux fonctions génératrices donne la loi d'une somme de variables indépendantes.
Le programme de MP ajoute aussi les univers non dénombrables et les variables à densité : hors du périmètre strictement dénombrable de ce chapitre, mais annoncés ici pour ne pas être découverts en cours de route.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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