Révisions de Mécanique du point, Passage MPSI → MP

Révisions de Mécanique du point en prépa MPSI : 24 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 8 chapitres de la fiche

Cinématique du point

À maîtriser :

Exprimer position, vitesse et accélération en base polaire/cylindrique : $\vec{OM}=r\,\vec{e}_r+z\,\vec{e}_z$, $\vec{v}=\dot r\,\vec{e}_r+r\dot\theta\,\vec{e}_\theta+\dot z\,\vec{e}_z$, $\vec{a}=(\ddot r-r\dot\theta^2)\,\vec{e}_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\vec{e}_\theta+\ddot z\,\vec{e}_z$.
Dériver les vecteurs de base tournants : $\dot{\vec{e}}_r=\dot\theta\,\vec{e}_\theta$ et $\dot{\vec{e}}_\theta=-\dot\theta\,\vec{e}_r$, outil systématique pour tout calcul en polaire.
Traiter le mouvement circulaire (uniforme ou non) : $r$ constant donne $\vec{v}=R\dot\theta\,\vec{e}_\theta$ et $\vec{a}=-R\dot\theta^2\,\vec{e}_r+R\ddot\theta\,\vec{e}_\theta$ ; en uniforme, accélération purement centripète de norme $v^2/R$.
Utiliser la base de Frenet quand c'est pertinent : $\vec{v}=v\,\vec{T}$, $\vec{a}=\dot v\,\vec{T}+\dfrac{v^2}{\rho}\,\vec{N}$, avec $\rho=\dfrac{v^3}{\|\vec{v}\wedge\vec{a}\|}$.
Choisir la base adaptée à la symétrie du problème avant tout calcul (cartésienne pour une trajectoire rectiligne, polaire/cylindrique dès qu'il y a rotation ou force centrale).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Lois de Newton

À maîtriser :

Connaître les trois lois de Newton et leur domaine de validité : le principe fondamental de la dynamique $\vec F=m\vec a$ (ou $\vec F=\dfrac{d\vec p}{dt}$) ne s'applique que dans un référentiel galiléen.
Appliquer la méthode systématique : définir le système, préciser le référentiel galiléen, faire le bilan exhaustif des forces, puis projeter le PFD dans une base adaptée à la trajectoire.
Connaître les forces usuelles : poids $m\vec g$, tension $\vec T$ d'un fil (colinéaire au fil), réaction normale $\vec N$ d'un support, frottement fluide linéaire $\vec f=-\lambda\vec v$ ou quadratique $\vec f=-kv\,\vec v$, frottement solide de Coulomb ($\|\vec T\|\le f\|\vec N\|$ à l'arrêt, $\|\vec T\|=f\|\vec N\|$ au glissement).
Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre en vitesse : identifier le temps caractéristique $\tau$ et la vitesse limite atteinte en régime permanent ($\dot v=0$).
Mobiliser le théorème de l'énergie cinétique ou la conservation de l'énergie mécanique en alternative (ou complément) au PFD, en particulier lorsqu'une force ne travaille pas (tension d'un fil, réaction normale sans frottement).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Approche énergétique

À maîtriser :

Calculer le travail d'une force le long d'un chemin, $W=\int \vec F\cdot \mathrm{d}\vec{OM}$ (ou $W=\vec F\cdot \vec{AB}$ si $\vec F$ constante), et appliquer le théorème de l'énergie cinétique $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{ext})$ entre deux instants.
Associer à une force conservative son énergie potentielle : pesanteur $E_p=mgz$, élastique $E_p=\frac12 kx^2$, gravitationnelle $E_p=-\dfrac{GMm}{r}$ (ou coulombienne $E_p=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}$).
Appliquer le théorème de l'énergie mécanique : $E_m$ constante en l'absence de forces non conservatives, $\Delta E_m=W(\vec F_{nc})<0$ en présence de frottements.
Localiser les positions d'équilibre d'un système à un degré de liberté par $E_p'(x_0)=0$ (car $F_x=-\mathrm dE_p/\mathrm dx$) et conclure sur la stabilité avec le signe de $E_p''(x_0)$ (stable si minimum local).
Autour d'un équilibre stable, écrire l'équation des petites oscillations et identifier $\omega_0^2=E_p''(x_0)/m$.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Oscillateur harmonique

À maîtriser :

Reconnaître une équation différentielle sous forme canonique $\ddot x+\omega_0^2x=0$ et écrire sa solution générale $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, avec $X_m$ et $\varphi$ fixés par les conditions initiales.
Pour un système masse-ressort, déterminer d'abord la position d'équilibre (PFD statique ou minimum de $E_p$), puis introduire l'écart $x$ à cet équilibre comme nouvelle variable avant de projeter le PFD.
Reconnaître que, pour un ressort vertical étudié autour de sa position d'équilibre, le poids se compense exactement avec la part statique de la tension du ressort et disparaît de l'équation différentielle portant sur l'écart $x$.
Exploiter la conservation de l'énergie mécanique $E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2=$ cste pour retrouver l'amplitude ou tracer le portrait de phase (trajectoire elliptique dans $(x,\dot x)$).
Utiliser l'isochronisme des petites oscillations : la période $T_0=2\pi/\omega_0$ ne dépend pas de l'amplitude.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Oscillateurs amortis et forcés

À maîtriser :

Mettre l'équation différentielle d'un oscillateur mécanique amorti sous la forme canonique $\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2 x=0$ et en lire directement $\omega_0$ (pulsation propre) et $Q$ (facteur de qualité) par identification avec l'équation physique du système.
Distinguer les trois régimes libres selon la valeur de $Q$ : pseudo-périodique si $Q>1/2$ (pseudo-pulsation $\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$), critique si $Q=1/2$ (retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation), apériodique si $Q<1/2$.
Définir le décrément logarithmique $\delta=\ln\dfrac{x(t)}{x(t+T)}$ à partir de deux maxima successifs et le relier à $Q$ par $\delta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{4Q^2-1}}$, relation valable uniquement en régime pseudo-périodique.
Écrire la réponse en régime sinusoïdal forcé en notation complexe $\underline{x}(t)=\underline{X}e^{i\omega t}$, en déduire l'amplitude complexe et distinguer la résonance d'élongation, qui n'existe que si $Q>1/\sqrt2$, de la résonance de vitesse, qui existe toujours à $\omega=\omega_0$.
Relier la bande passante $\Delta\omega$ à $Q$ par $Q=\omega_0/\Delta\omega$ et interpréter $Q$ comme la sélectivité du système et comme le nombre d'oscillations libres visibles avant amortissement notable.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Particules chargées dans des champs

À maîtriser :

Écrire la force de Lorentz $\vec F=q(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$ subie par une particule chargée et justifier que le poids est négligeable devant les forces électrique et magnétique pour une particule microscopique (électron, ion).
Utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour une particule accélérée par une différence de potentiel $U$ entre deux points : $qU=\frac12mv^2-\frac12mv_0^2$, et en déduire la vitesse acquise.
Démontrer, à l'aide du théorème de la puissance cinétique, que le champ magnétique ne travaille jamais ($\vec F_B\cdot\vec v=0$) : dans un champ $\vec B$ seul, la norme de la vitesse est constante.
Reconnaître le mouvement circulaire uniforme d'une particule chargée dans un champ $\vec B$ uniforme perpendiculaire à $\vec v$ : rayon $R=\dfrac{mv}{|q|B}$, pulsation cyclotron $\omega_c=\dfrac{|q|B}{m}$, indépendante de $v$.
Établir la trajectoire parabolique d'une particule chargée pénétrant avec une vitesse $v_0$ perpendiculaire à un champ $\vec E$ uniforme transverse (principe de l'oscilloscope à déviation électrostatique).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Moment cinétique

À maîtriser :

Définir le moment cinétique en un point fixe $O$ : $\vec L_O = m\,\vec{OM}\wedge\vec v$, et savoir l'exprimer en coordonnées polaires pour un mouvement plan : $L_z = mr^2\dot\theta$.
Appliquer le théorème du moment cinétique en un point fixe $O$ d'un référentiel galiléen : $\dfrac{\mathrm d\vec L_O}{\mathrm dt} = \vec{OM}\wedge\vec F = \vec{\mathcal M}_O(\vec F)$, en particulier pour éliminer une force de liaison inconnue (fil, tige, réaction normale).
Calculer le moment d'une force par la méthode du bras de levier : $\mathcal M_O(\vec F) = \pm\, d \times F$, $d$ étant la distance de $O$ à la droite d'action de $\vec F$, et reconnaître qu'une force dont la droite d'action passe par $O$ a un moment nul.
Identifier une force centrale (dirigée en permanence vers un point fixe $O$) : son moment en $O$ est nul, donc $\vec L_O$ se conserve, ce qui impose un mouvement plan.
Exploiter la conservation de $\vec L_O$ pour une force centrale : loi des aires (vitesse aréolaire constante) et relation $r^2\dot\theta = \text{cste}$, outil clé pour relier vitesses et distances en deux points d'une trajectoire.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Forces centrales et mouvement képlérien

À maîtriser :

Connaître l'énergie potentielle gravitationnelle $E_p(r) = -\dfrac{GMm}{r}$ (origine nulle à l'infini) et l'énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}(r) = \dfrac{L^2}{2mr^2} - \dfrac{GMm}{r}$ obtenue en incluant le terme centrifuge dans l'étude radiale du mouvement.
Discuter qualitativement la nature de la trajectoire à partir du signe de l'énergie mécanique totale $E$ : $E<0$ donne un état lié (trajectoire elliptique, cas particulier circulaire), $E=0$ une trajectoire parabolique (vitesse tendant vers $0$ à l'infini), $E>0$ une trajectoire hyperbolique (vitesse non nulle à l'infini).
Connaître et utiliser les trois lois de Kepler, en particulier la troisième sous sa forme $\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$ (indépendante de la masse $m$ du satellite, $a$ demi-grand axe).
Établir par le PFD les caractéristiques d'une orbite circulaire de rayon $r$ : vitesse $v=\sqrt{GM/r}$, période $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$, énergie mécanique $E = -\dfrac{GMm}{2r}$ (théorème du viriel dans le cas circulaire : $E_c = -E_p/2$).
Retrouver et utiliser la vitesse de libération $v_\ell = \sqrt{2GM/R}$ (vitesse minimale pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle, $E=0$) et la relation de vis-viva $v^2 = GM\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)$ valable en tout point d'une conique de demi-grand axe $a$.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

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