Révisions d'Électrocinétique et d'induction, Passage MPSI → MP

Révisions d'Électrocinétique et d'induction en prépa MPSI : 22 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 6 chapitres de la fiche

Régime transitoire du premier ordre (RC et RL)

À maîtriser :

Établir l'équation différentielle du premier ordre en appliquant la loi des mailles (ou la loi des nœuds), après avoir fixé une convention récepteur sur chaque dipôle et ne plus en changer en cours de calcul.
Identifier la constante de temps : $\tau = RC$ pour un circuit RC, $\tau = L/R$ pour un circuit RL, homogène à un temps.
Utiliser la continuité de la tension $u_C(t)$ aux bornes d'un condensateur et du courant $i_L(t)$ traversant une bobine pour fixer la condition initiale : ce sont les deux seules grandeurs continues, jamais le courant dans le condensateur ni la tension aux bornes de la bobine.
Résoudre par la méthode générale : solution particulière donnée par le régime permanent (où toutes les dérivées temporelles s'annulent) additionnée d'un terme transitoire en $e^{-t/\tau}$, dont la constante s'ajuste avec la condition initiale.
Repérer $\tau$ sur un relevé expérimental : tangente à l'origine qui coupe l'asymptote, ou temps pour atteindre 63 % de la variation totale, utile pour vérifier un ordre de grandeur.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Régime transitoire du second ordre (circuit RLC série)

À maîtriser :

Mettre l'équation différentielle du circuit RLC série sous forme canonique $\ddot u_C + \dfrac{\omega_0}{Q}\dot u_C + \omega_0^2\,u_C = \omega_0^2\,E$, avec $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ pour une maille alimentée par un échelon $E$.
Distinguer les trois régimes selon $Q$ : apériodique ($Q<1/2$, deux exponentielles réelles), critique ($Q=1/2$, racine double), pseudo-périodique ($Q>1/2$, oscillations amorties), et savoir écrire directement la forme de la solution dans chaque cas.
En régime pseudo-périodique, exprimer la pseudo-pulsation $\omega=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}$ et la pseudo-période $T=2\pi/\omega$, légèrement supérieure à la période propre $T_0=2\pi/\omega_0$.
Faire un bilan énergétique : l'énergie électromagnétique $\mathcal{E}=\frac12 Cu_C^2+\frac12 Li^2$ ne peut que décroître par dissipation Joule dans $R$, avec $\dfrac{d\mathcal{E}}{dt}=-Ri^2\le 0$, ce qui interdit toute solution dont l'amplitude croîtrait.
Fixer les deux constantes d'intégration à partir des deux seules conditions initiales physiques : continuité de $u_C$ et continuité de $i$ (donc de $\dot u_C=i/C$), jamais une condition arbitraire de plus.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Régime sinusoïdal forcé

À maîtriser :

Associer à chaque dipôle son impédance complexe en convention récepteur ($\underline u=\underline Z\,\underline i$) : $\underline Z_R=R$, $\underline Z_L=jL\omega$, $\underline Z_C=\dfrac{1}{jC\omega}$, à condition d'avoir fixé cette convention avant tout calcul.
Utiliser le diviseur de tension (ou de courant) complexe pour deux impédances en série (ou en parallèle) sans repasser par l'équation différentielle.
Exprimer le déphasage $\varphi$ entre tension et courant comme l'argument de l'impédance équivalente, et savoir si le circuit se comporte en inductif ($\varphi>0$, courant en retard) ou en capacitif ($\varphi<0$, courant en avance).
Calculer la puissance moyenne reçue par un dipôle $P=U_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\cos\varphi$, avec $U_{\text{eff}}=U_m/\sqrt2$, $\cos\varphi$ étant le facteur de puissance ; ne jamais utiliser les amplitudes directement dans cette formule.
Réserver la représentation complexe au régime sinusoïdal forcé établi (le transitoire est terminé) : à une pulsation donnée elle transforme systèmes différentiels et déphasages en simple algèbre.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Résonance et filtrage

À maîtriser :

Distinguer la résonance en intensité d'un circuit RLC série, qui a toujours lieu à $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ quel que soit $Q$, de la résonance en tension aux bornes du condensateur, qui n'existe que si $Q>1/\sqrt2$ et se produit à une pulsation légèrement inférieure à $\omega_0$.
Définir la bande passante à $-3\,\text{dB}$ autour de la résonance en intensité : $\Delta\omega=\omega_0/Q$, et relier un grand $Q$ à une résonance étroite et aiguë.
Tracer un diagramme de Bode asymptotique (gain $G=20\log_{10}|\underline H|$ et phase) : identifier la ou les pulsations de coupure et la pente asymptotique, $\pm20\,\text{dB/décade}$ par ordre du filtre.
Reconnaître un filtre passe-bas ou passe-haut du premier ordre uniquement à partir des limites de $\underline H(j\omega)$ en basse et haute fréquence, sans calculer le module complet.
Relier le nombre de dipôles réactifs (donc l'ordre du filtre) à la pente asymptotique loin de la coupure, et se méfier de la mise en cascade de deux filtres sans étage tampon, qui modifie la fonction de transfert globale par effet de charge.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Induction : Faraday, Lenz, auto-induction

À maîtriser :

Appliquer la loi de Faraday $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}$ en calculant le flux $\Phi$ avec une normale au contour liée à son sens d'orientation par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), convention fixée une fois pour toutes avant tout calcul.
Utiliser la loi de Lenz de façon qualitative, en complément du calcul : le sens du courant induit s'oppose toujours à la cause qui lui donne naissance, ce qui permet de vérifier le signe obtenu par la loi de Faraday.
Prendre en compte l'auto-induction dans la loi des mailles d'un circuit comportant une bobine : la fem d'auto-induction $-L\dfrac{di}{dt}$ s'ajoute aux autres termes, avec un signe cohérent avec la convention récepteur choisie pour la bobine.
Pour des rails de Laplace, exprimer la fem induite par le mouvement $e=B\ell\dot x$ (ou par calcul de flux), la force de Laplace $\vec F=i\vec\ell\wedge\vec B$ qui s'oppose toujours au mouvement relatif, et coupler l'équation mécanique et l'équation électrique du circuit.
Établir un bilan de puissance complet : la puissance mécanique fournie (ou reçue) par la tige se retrouve intégralement en puissance électrique du circuit, $P_{\text{Laplace}}=-P_{\text{méca reçue par la tige}}$, à répartir ensuite entre effet Joule et stockage éventuel d'énergie.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Les séries de Fourier comme outil du physicien

À maîtriser :

Analyser un signal périodique comme une somme d'une composante continue et d'harmoniques sinusoïdales : dans un circuit linéaire, chaque harmonique se traite séparément, par superposition, jamais toutes ensemble avec une seule valeur de $\underline H$.
Lire un spectre (amplitude de chaque harmonique en fonction de sa fréquence) pour identifier la composante continue, le fondamental et les harmoniques significatives.
Calculer la valeur moyenne d'un signal périodique par $\langle u\rangle=\dfrac1T\displaystyle\int_0^Tu(t)\,dt$, ou la lire directement comme la composante continue de son spectre.
Calculer la valeur efficace d'un signal périodique connu par son spectre grâce à l'égalité de Parseval $U_{\text{eff}}^2=U_0^2+\sum_k(U_k/\sqrt2)^2$, sans reconstruire le signal temporel.
Filtrer un signal périodique harmonique par harmonique : multiplier chaque amplitude $U_k$ par $|\underline H(jk\omega)|$ et ajouter le déphasage $\arg\underline H(jk\omega)$, jamais appliquer le gain calculé à une pulsation à toutes les autres.
Reconnaître la situation du filtre moyenneur : un passe-bas de coupure $\omega_c\ll\omega$ (pulsation fondamentale) transmet la composante continue et atténue fortement toutes les harmoniques.
Reconnaître la situation du filtre sélectif : un passe-bande de facteur de qualité $Q$ élevé, réglé sur la pulsation d'une harmonique, l'isole en atténuant fortement les autres raies du spectre.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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