Révisions d'Analyse, Passage MPSI → MP
Révisions d'Analyse en prépa MPSI (sup vers spé MP) : 49 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 12 chapitres de la fiche
Nombres complexes
À maîtriser :
- Passer sans hésiter entre forme algébrique $a+ib$ et forme trigonométrique/exponentielle $re^{i\theta}$.
- Utiliser la forme exponentielle pour toute puissance ou racine $n$-ième, jamais la forme algébrique.
- Les formules d'Euler $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$, et leurs deux usages : linéariser (puissances de cos/sin → somme de cos/sin) et développer (formule de Moivre).
- Interpréter géométriquement : module = distance à l'origine, argument = angle, multiplication = rotation + homothétie, $|z_1-z_2|$ = distance entre les points d'affixes $z_1$ et $z_2$.
- La technique de l'angle moitié : $1+e^{i\theta} = 2\cos\!\frac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}$, indispensable pour les sommes d'exponentielles.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Suites numériques
À maîtriser :
- Les outils de convergence : suites monotones bornées, suites adjacentes, théorème des gendarmes, suites extraites.
- Les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ : chercher les points fixes de $f$, étudier le signe de $f(x)-x$, stabilité d'un intervalle.
- Les suites arithmético-géométriques $u_{n+1} = au_n + b$ : passer par le point fixe $\ell = a\ell + b$ pour se ramener à une suite géométrique $v_n = u_n - \ell$.
- Distinguer convergence et simple bornage : une suite bornée n'est pas forcément convergente (penser à $(-1)^n$).
- Le lien limite / suites extraites : si $u_n \to \ell$, toute suite extraite tend vers $\ell$ : outil de divergence très efficace par contraposée.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Limites et continuité
À maîtriser :
- Les formes indéterminées classiques $\left(\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\times\infty,\ 1^\infty\right)$ et les techniques pour les lever.
- Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), et sa version pour les fonctions strictement monotones (théorème de la bijection).
- La continuité sur un segment implique l'existence d'un maximum et d'un minimum (théorème de Weierstrass, dit « des bornes atteintes »).
- La caractérisation séquentielle de la continuité : $f$ continue en $a$ et $u_n \to a$ impliquent $f(u_n) \to f(a)$ : c'est elle qui justifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Dérivabilité
À maîtriser :
- Le lien signe de la dérivée / sens de variation, et le fait qu'un extremum local intérieur d'une fonction dérivable annule $f'$ (mais réciproque fausse : $x^3$ en 0).
- Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis (TAF), avec leurs hypothèses exactes : continuité sur $[a,b]$, dérivabilité sur $]a,b[$.
- L'inégalité des accroissements finis (IAF), utile pour majorer des écarts sans calcul explicite : si $|f'| \le K$, alors $|f(b)-f(a)| \le K|b-a|$.
- La construction de fonctions auxiliaires (multiplier par $e^{\lambda x}$, soustraire une droite…) pour se ramener à Rolle.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Fonctions usuelles
À maîtriser :
- $\ln$, $\exp$, puissances $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ : domaines, dérivées, limites de référence.
- Les réciproques trigonométriques $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ : domaines et images exacts, dérivées $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{1}{1+x^2}$.
- Les fonctions hyperboliques $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, $\operatorname{th}$, la relation $\operatorname{ch}^2 - \operatorname{sh}^2 = 1$, et le lien avec $e^x$.
- Le réflexe « dériver pour prouver qu'une fonction est constante » sur un intervalle : c'est la méthode-type pour les identités entre fonctions réciproques.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Analyse asymptotique
À maîtriser :
- Les définitions de $u_n = o(v_n)$, $u_n = O(v_n)$, $u_n \sim v_n$, et leurs traductions concrètes (quotient qui tend vers 0, quotient borné, quotient qui tend vers 1).
- Les croissances comparées : $(\ln n)^\alpha \ll n^\beta \ll a^n \ll n! $ pour $\alpha, \beta > 0$, $a > 1$.
- Les équivalents usuels en 0 : $\ln(1+u) \sim u$, $e^u - 1 \sim u$, $\sin u \sim u$, $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$.
- Les opérations autorisées sur les équivalents : produit, quotient, puissance fixe. Les opérations interdites : somme, composition par $\exp$ ou $\ln$ sans précaution.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Développements limités
À maîtriser :
- Les DL usuels en $0$ (exponentielle, sinus, cosinus, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$, $\frac{1}{1-x}$), à connaître par cœur.
- Les opérations autorisées : somme, produit, composition (en respectant l'ordre de troncature), jamais la division terme à terme sans précaution.
- La formule de Taylor–Young, qui fabrique le DL de n'importe quelle fonction assez régulière.
- Les usages : lever une forme indéterminée, obtenir un équivalent, étudier la position locale d'une courbe (tangente, asymptote).
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Intégration sur un segment
À maîtriser :
- Les primitives usuelles (puissances, $\frac{1}{x}$, $e^{ax}$, trigonométrie, $\frac{1}{1+x^2} \to \arctan$, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \to \arcsin$).
- L'intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'$, et le bon choix de $u'$ et $v$.
- Le changement de variable, en pensant à changer les bornes et l'élément différentiel.
- Les propriétés : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles, inégalité triangulaire $\left|\int f\right| \le \int |f|$, et : $f$ continue positive d'intégrale nulle $\implies f = 0$.
- Les sommes de Riemann : $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 f(t)\,dt$ pour $f$ continue.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Équations différentielles
À maîtriser :
- L'ordre 1 linéaire $y' + a(x)y = b(x)$ : solution homogène $Ce^{-A(x)}$ avec $A$ primitive de $a$, puis solution particulière (évidente, ou variation de la constante).
- L'ordre 2 à coefficients constants $y'' + ay' + by = f(x)$ : équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$, les trois formes de solutions homogènes selon le discriminant (deux exponentielles, $(\lambda + \mu x)e^{rx}$, ou $e^{\alpha x}(\lambda\cos\beta x + \mu\sin\beta x)$).
- La structure des solutions : solution générale = solution homogène + une solution particulière ; principe de superposition pour les seconds membres composés.
- Le format de la solution particulière selon le second membre, et le phénomène de résonance (multiplier par $x$ quand le second membre est solution de l'homogène).
- Le problème de Cauchy : les conditions initiales déterminent les constantes de façon unique.
4 exercices corrigés dans ce chapitre.
Convexité
À maîtriser :
- La définition : $f\big(\lambda a + (1-\lambda)b\big) \le \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)$ pour $\lambda \in [0,1]$, et sa lecture géométrique (cordes au-dessus de la courbe).
- Le critère pratique : $f$ deux fois dérivable est convexe $\iff f'' \ge 0$ (concave $\iff f'' \le 0$).
- La position par rapport aux tangentes : une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : machine à fabriquer des inégalités.
- Les inégalités de convexité classiques : $e^x \ge 1+x$, $\ln x \le x - 1$, et l'inégalité arithmético-géométrique.
3 exercices corrigés dans ce chapitre.
Fonctions de deux variables
À maîtriser :
- Les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ : dériver par rapport à une variable en gelant l'autre.
- Le gradient $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ et les points critiques (gradient nul).
- Le fait qu'un extremum local d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert est un point critique : mais qu'un point critique n'est pas forcément un extremum (points selle).
- La règle de la chaîne pour $t \mapsto f(x(t), y(t))$.
3 exercices corrigés dans ce chapitre.
Séries numériques
À maîtriser :
- La série $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ converge ; sa somme est alors $S=\displaystyle\lim_{n\to+\infty} S_n$. Condition nécessaire (divergence grossière) : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ ; la réciproque est fausse.
- Série géométrique de raison $q$ : $\displaystyle\sum_{n\ge 0} q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{1}{1-q}$.
- Série télescopique : $\sum (a_{n+1}-a_n)$ est de même nature que la suite $(a_n)$, et en cas de convergence $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (a_{n+1}-a_n) = \lim_{n\to+\infty} a_n - a_0$.
- Série de Riemann : $\displaystyle\sum_{n\ge1} \dfrac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$. Pour une série à termes positifs, comparaison par majoration ou par équivalent : si $0\le u_n\le v_n$ (ou $u_n\sim v_n$) et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge ; règle de d'Alembert : si $u_n>0$ et $u_{n+1}/u_n \to \ell$, la série converge si $\ell<1$, diverge si $\ell>1$.
- Convergence absolue : si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge (la réciproque est fausse : une série peut être semi-convergente). Ouverture MP : le critère spécial des séries alternées affirme que si $(a_n)$ est positive, décroissante, de limite nulle, alors $\sum(-1)^n a_n$ converge.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
49 exercices corrigés avec indice et rappel de cours, en accès libre.