Révisions d'Algèbre, Passage MPSI → MP

Révisions d'Algèbre en prépa MPSI (sup vers spé MP) : 29 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 9 chapitres de la fiche

Arithmétique des entiers

À maîtriser :

La division euclidienne : pour $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$, il existe un unique couple $(q,r)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ tel que $a = bq+r$ avec $0\le r < |b|$.
Le pgcd et l'algorithme d'Euclide : $\mathrm{pgcd}(a,b) = \mathrm{pgcd}(b, r)$ où $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$ ; on itère jusqu'à un reste nul, le dernier reste non nul est le pgcd.
Le théorème de Bézout : $a\wedge b = 1$ si et seulement s'il existe $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $au+bv=1$ ; plus généralement $au+bv$ décrit exactement l'ensemble des multiples de $a\wedge b$.
Le lemme de Gauss : si $a\mid bc$ et $a\wedge b = 1$, alors $a\mid c$. Corollaire immédiat : si $a\mid c$, $b\mid c$ et $a\wedge b=1$, alors $ab\mid c$.
Les congruences : $a\equiv b\ [n]$ est une relation d'équivalence compatible avec $+$ et $\times$, ce qui permet de remplacer un nombre par un représentant plus simple avant de calculer une puissance ou une somme.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Structures : groupes, anneaux, corps

À maîtriser :

Le critère de sous-groupe : $H\subset G$ est un sous-groupe si et seulement si $H\neq\varnothing$ et $\forall x,y\in H,\ xy^{-1}\in H$ ; un morphisme $f:(G,\cdot)\to(G',\star)$ vérifie $f(xy)=f(x)\star f(y)$, et $\ker f$, $f(G)$ sont des sous-groupes.
L'ordre d'un élément $x$ d'un groupe fini est le plus petit entier $n\ge1$ tel que $x^n=e$ ; il vérifie $x^k=e\iff n\mid k$, et engendre le sous-groupe cyclique $\langle x\rangle$ de cardinal $n$.
Un groupe cyclique de cardinal $n$ est engendré par un élément d'ordre $n$ ; tout sous-groupe d'un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$, la classe $\bar k$ est inversible pour $\times$ si et seulement si $k\wedge n=1$ (Bézout) ; $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Un corps est un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible : c'est en particulier un anneau intègre, sans diviseur de zéro.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Polynômes

À maîtriser :

Degré : $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$, et $\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)$ avec égalité dès que $\deg P\neq\deg Q$.
Racine et multiplicité : $a$ est racine de multiplicité $k$ de $P$ si et seulement si $(X-a)^k\mid P$ et $(X-a)^{k+1}\nmid P$, ce qui équivaut à $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq0$.
Factorisation : tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ non constant est scindé (théorème de d'Alembert-Gauss) ; dans $\mathbb{R}[X]$, les irréductibles sont les facteurs de degré $1$ et les facteurs de degré $2$ à discriminant strictement négatif, obtenus en regroupant les racines complexes conjuguées deux à deux.
Les relations coefficients-racines (formules de Viète) : si $P=a_n\prod_{i=1}^n(X-x_i)$, alors $\sum x_i=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\prod x_i=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}$.
Un polynôme annulateur d'un endomorphisme $f$ (ou d'une matrice) est un polynôme $P$ tel que $P(f)=0$ ; ses racines contiennent nécessairement toutes les valeurs propres de $f$, c'est le tout premier pas vers le polynôme minimal de la MP.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles

À maîtriser :

Le pgcd de deux polynômes se calcule par l'algorithme d'Euclide, exactement comme pour les entiers : diviser, remplacer le couple par (diviseur, reste), recommencer jusqu'à un reste nul ; le dernier reste non nul, rendu unitaire, est le pgcd.
Le théorème de Bézout polynomial : $A\wedge B=1$ si et seulement s'il existe $(U,V)\in\mathbb{K}[X]^2$ tels que $AU+BV=1$.
Le lemme de Gauss polynomial : si $A\mid BC$ et $A\wedge B=1$, alors $A\mid C$.
Les polynômes irréductibles : dans $\mathbb{C}[X]$, ce sont exactement les polynômes de degré $1$ ; dans $\mathbb{R}[X]$, ce sont les degrés $1$ et les degrés $2$ à discriminant strictement négatif. Tout polynôme non constant se décompose en produit d'irréductibles, de façon unique à l'ordre et aux constantes multiplicatives près.
La décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle : partie entière plus une somme de termes $\dfrac{a}{(X-\alpha)^k}$ (pôles) ; pour le coefficient du pôle d'ordre le plus élevé en $\alpha$, multiplier par $(X-\alpha)^k$ puis évaluer en $\alpha$.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Espaces vectoriels

À maîtriser :

Montrer qu'une famille est libre : partir d'une combinaison linéaire nulle et prouver que tous les coefficients sont nuls. Sur des polynômes, l'argument des degrés échelonnés est souvent le plus rapide.
Une famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice. Ne jamais vérifier les deux.
Somme directe $F\oplus G$ : prouver $F\cap G=\{0\}$ ET la somme, ou bien exhiber la décomposition explicite d'un vecteur quelconque.
En dimension finie, $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ : la formule de Grassmann remplace souvent un calcul.
Un supplémentaire n'est jamais unique : parler DU supplémentaire est une faute, sauf en présence d'une structure supplémentaire (orthogonalité).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Applications linéaires

À maîtriser :

Théorème du rang : $\dim E=\dim\ker f+\mathrm{rg}(f)$, valable dès que $E$ est de dimension finie, sans hypothèse sur l'espace d'arrivée.
En dimension finie et pour un endomorphisme, injectif, surjectif et bijectif sont équivalents. En dimension infinie, c'est faux : pensez à la dérivation sur $\mathbb{R}[X]$.
Un projecteur est un endomorphisme vérifiant $p\circ p=p$. On a alors $E=\ker p\oplus\mathrm{Im}\,p$ et $\mathrm{Im}\,p=\ker(p-\mathrm{id})$.
Une symétrie vérifie $s\circ s=\mathrm{id}$, et $p=\frac{1}{2}(s+\mathrm{id})$ est le projecteur associé.
Pour montrer une égalité de sous-espaces, prouver la double inclusion, ou une inclusion plus l'égalité des dimensions. Jamais l'égalité des dimensions seule.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Matrices et changement de base

À maîtriser :

La matrice de $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ a pour colonnes les coordonnées des $f(e_j)$ dans $\mathcal{C}$. Une colonne, une image : ne jamais confondre lignes et colonnes.
Formule de changement de base pour un endomorphisme : $A'=P^{-1}AP$, où $P$ est la matrice de passage de l'ancienne vers la nouvelle base.
Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans deux bases : elles ont même rang, même trace, même déterminant.
$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, même si $AB\neq BA$. C'est l'identité qui rend la trace invariante par similitude.
Une matrice de rang $1$ s'écrit toujours $XY^{\mathsf{T}}$ avec $X,Y$ colonnes non nulles : c'est la forme normale à avoir en tête.

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Déterminants et systèmes

À maîtriser :

Le déterminant est $n$-linéaire alternée en les colonnes : ajouter à une colonne une combinaison des autres ne le change pas, échanger deux colonnes le change de signe.
$\det(AB)=\det A\det B$ et $\det(\lambda A)=\lambda^n\det A$ en dimension $n$ : l'erreur classique est d'oublier l'exposant $n$.
$A$ est inversible si et seulement si $\det A\neq0$, et alors $\det(A^{-1})=1/\det A$.
Le déterminant est invariant par transposition, donc tout énoncé sur les colonnes vaut pour les lignes.
En dimension $n$ quelconque, ne développez pas au hasard : cherchez d'abord à faire apparaître des zéros, ou reconnaissez une structure (rang $1$, blocs, matrice de la forme $aI_n+bJ$).

3 exercices corrigés dans ce chapitre.

Espaces préhilbertiens réels

À maîtriser :

Vérifier qu'une forme est un produit scalaire : bilinéarité et symétrie souvent immédiates, l'effort est sur la positivité et le caractère défini ($\langle x,x\rangle=0 \Rightarrow x=0$).
Cauchy-Schwarz, $|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|$, avec égalité si et seulement si $(x,y)$ liée : le réflexe pour majorer un produit scalaire ou un produit de sommes ou d'intégrales.
L'identité $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle$ et sa réciproque, la formule de polarisation, pour retrouver un produit scalaire à partir d'une norme.
L'orthogonal $X^\perp$ d'une partie est toujours un sous-espace vectoriel, même si $X$ ne l'est pas.
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : c'est souvent le moyen le plus rapide de justifier qu'une famille l'est.
Gram-Schmidt : orthonormaliser $(v_1,\dots,v_n)$ en retranchant à chaque $v_k$ ses projections sur les vecteurs déjà construits, puis en normalisant.
Le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ (dimension finie) dans une base orthonormée $(e_k)$ de $F$ : $p_F(x)=\sum_k \langle x,e_k\rangle e_k$, et $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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