Révisions de Thermodynamique, Passage TSI 1 vers TSI 2

Révisions de Thermodynamique en prépa TSI : 25 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 5 chapitres de la fiche

À maîtriser :

Équation d'état du gaz parfait $PV = nRT$, avec $P$ en pascals (Pa), $V$ en m³, $n$ en mol, $T$ en kelvins (K) et $R = 8{,}31$ J·mol⁻¹·K⁻¹ ; rappel des conversions $1\ \text{bar} = 10^5\ \text{Pa}$ et $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$
Grandeurs intensives (ne dépendent pas de la quantité de matière : $P$, $T$) et grandeurs extensives (proportionnelles à la quantité de matière : $V$, $n$, $U$, $S$)
Énergie interne du gaz parfait $U = nC_{v,m}T + \text{cste}$ : elle ne dépend que de $T$ (première loi de Joule), jamais de $P$ ni $V$
Capacités thermiques molaires $C_{v,m}$ et $C_{p,m}$, coefficient $\gamma = \dfrac{C_{p,m}}{C_{v,m}}$ et relation de Mayer $C_{p,m} - C_{v,m} = R$
Mélange de gaz parfaits (loi de Dalton) : la pression totale est la somme des pressions partielles, $P = \sum_i P_i$ avec $P_i V = n_i R T$ pour chaque constituant

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À maîtriser :

Premier principe pour un système fermé : $\Delta U = W + Q$, où $W$ et $Q$ sont le travail et le transfert thermique reçus par le système
Travail des forces de pression lors d'une transformation quasi-statique : $W = -\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V$ (compression : $\Delta V < 0$, donc $W$ reçu positif)
Transformations particulières du gaz parfait : isochore ($W=0$, $Q = \Delta U = nC_{v,m}\Delta T$), isobare ($Q = \Delta H = nC_{p,m}\Delta T$, $W = -P\Delta V$), isotherme ($\Delta U = 0$, $W = -nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$ si réversible)
Transformation adiabatique réversible : lois de Laplace $PV^{\gamma} = \text{cste}$, $TV^{\gamma-1} = \text{cste}$, $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{cste}$ ; on a alors $Q = 0$ et $W = \Delta U = nC_{v,m}\Delta T$
Calorimétrie : $Q = mc\Delta T$ pour un échauffement sans changement d'état, $Q = mL$ pour un changement d'état (chaleur latente)

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À maîtriser :

Second principe : il existe une fonction d'état extensive $S$ (entropie) telle que, pour un système fermé, $\Delta S = S_{\text{éch}} + S_{\text{créée}}$, avec $S_{\text{créée}} \geq 0$ (nulle si et seulement si la transformation est réversible)
Entropie échangée avec une source de chaleur à température $T_{\text{ext}}$ constante : $S_{\text{éch}} = \dfrac{Q}{T_{\text{ext}}}$, où $Q$ est le transfert thermique reçu par le système
Formule de l'entropie du gaz parfait (admise) : $\Delta S = nC_{v,m}\ln\dfrac{T_2}{T_1} + nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}$, ou de façon équivalente $\Delta S = nC_{p,m}\ln\dfrac{T_2}{T_1} - nR\ln\dfrac{P_2}{P_1}$
Une transformation réversible a $S_{\text{créée}} = 0$ ; une transformation irréversible (frottements, contact thermique entre corps à températures différentes, détente de Joule Gay-Lussac) a $S_{\text{créée}} > 0$
Pour un système isolé (pas d'échange avec l'extérieur), $S_{\text{éch}} = 0$ donc $\Delta S_{\text{isolé}} = S_{\text{créée}} \geq 0$ : c'est le critère d'évolution spontanée

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À maîtriser :

Machine ditherme cyclique : le fluide échange un travail $W$ avec un opérateur et deux transferts thermiques $Q_c$ (source chaude, $T_c$) et $Q_f$ (source froide, $T_f$), reçus algébriquement ; premier principe sur un cycle : $\Delta U = 0 = W + Q_c + Q_f$
Second principe appliqué au cycle (inégalité de Clausius) : $S_{\text{créée}} = -\left(\dfrac{Q_c}{T_c} + \dfrac{Q_f}{T_f}\right) \geq 0$, car $\Delta S_{\text{fluide, cycle}} = 0$ (fonction d'état sur un cycle)
Théorème de Carnot : à températures de sources fixées, le rendement (ou l'efficacité) de toute machine ditherme cyclique est majoré par celui du cycle de Carnot réversible fonctionnant entre les mêmes sources, avec égalité si et seulement si la machine est réversible
Moteur thermique ($Q_c>0$, $W<0$) : rendement $\eta = \dfrac{-W}{Q_c} \leq \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \dfrac{T_f}{T_c} < 1$
Réfrigérateur ($Q_f>0$, $W>0$) : efficacité $\text{COP} = \dfrac{Q_f}{W} \leq \dfrac{T_f}{T_c-T_f}$ ; pompe à chaleur ($Q_c<0$, $W>0$) : $\text{COP} = \dfrac{-Q_c}{W} \leq \dfrac{T_c}{T_c-T_f}$, toujours $>1$

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À maîtriser :

Pression en un point d'un fluide : force pressante élémentaire $d\vec F=-p\,dS\,\vec n$ ($\vec n$ normale sortante), pression exprimée en pascal (Pa).
Équation locale de la statique des fluides (axe $z$ vertical ascendant) : $\dfrac{dp}{dz}=-\rho g$, obtenue par un bilan des forces sur une tranche de fluide au repos.
Fluide incompressible et homogène : $p(z)=p_0-\rho g(z-z_0)$, soit $p=p_0+\rho gh$ où $h$ est la profondeur sous la surface libre (à $p_0$).
Atmosphère isotherme (gaz parfait de température $T$ constante) : $p(z)=p(0)\,e^{-z/H}$, avec la hauteur caractéristique $H=\dfrac{RT}{Mg}$.
Résultante des forces pressantes sur une paroi plane : $\vec F=\iint p\,dS\,\vec n$ ; théorème d'Archimède : tout corps immergé subit une poussée verticale ascendante égale au poids du fluide déplacé, $\vec\Pi=\rho_{fluide}V_{déplacé}\,g\,\vec u_z$.

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