Révisions de Thermodynamique, Passage PCSI vers PSI ou PC
Révisions de Thermodynamique en prépa PCSI : 23 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 4 chapitres de la fiche
Gaz parfait et premier principe
À maîtriser :
- Décrire un système à l'équilibre avec les bonnes variables d'état : pour un gaz parfait $PV=nRT$, pour une phase condensée incompressible et indilatable, volume et masse volumique constants, indépendants de $P$ et $T$.
- Nommer sans hésiter la transformation avant de calculer : isochore, isobare, monobare, isotherme, adiabatique, et distinguer quasi statique (succession d'états d'équilibre) de mécaniquement réversible (en plus, $P=P_{ext}$ à chaque instant).
- Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de $T$ (première loi de Joule) : $dU=nC_{v,m}\,dT$, donc $\Delta U=nC_{v,m}\Delta T$ quel que soit le chemin entre les deux états.
- Calculer le travail des forces de pression selon la transformation : $\delta W=-P_{ext}\,dV$ ; isochore $W=0$ ; monobare $W=-P_{ext}\Delta V$ ; isotherme réversible $W=-nRT\ln(V_f/V_i)$.
- Utiliser l'enthalpie $H=U+PV$, fonction d'état, telle que pour une transformation monobare avec $P_i=P_f=P_{ext}$, $\Delta H=Q_p$ ; pour un gaz parfait $dH=nC_{p,m}\,dT$ (seconde loi de Joule), avec la relation de Mayer $C_{p,m}-C_{v,m}=R$.
- Reconnaître l'adiabatique réversible d'un gaz parfait ($Q=0$, réversible) : lois de Laplace $PV^{\gamma}=\text{cste}$, $TV^{\gamma-1}=\text{cste}$, $T^{\gamma}P^{1-\gamma}=\text{cste}$, avec $\gamma=C_{p,m}/C_{v,m}$.
- Traiter un changement d'état isobare du corps pur à l'aide de l'enthalpie de transition : sur le palier, $Q=m\,x\,\ell$ où $x$ est le titre massique de la phase qui apparaît et $\ell$ l'enthalpie massique de transition à la température du palier.
6 exercices corrigés dans ce chapitre.
Second principe et bilans d'entropie
À maîtriser :
- Écrire le second principe pour tout système fermé entre deux états d'équilibre : $\Delta S=S_{\text{éch}}+S_{\text{créée}}$, avec $S_{\text{créée}}\geq0$, l'égalité n'ayant lieu que pour une transformation réversible.
- Calculer l'entropie échangée à partir des températures des sources : $S_{\text{éch}}=\displaystyle\sum_i\dfrac{Q_i}{T_i}$ si le système échange avec plusieurs thermostats, ou $S_{\text{éch}}=\displaystyle\int\dfrac{\delta Q}{T_{\text{source}}}$ en continu ; c'est toujours la température de la source, pas celle du système, qui intervient.
- $S$ est une fonction d'état : pour la calculer entre deux états, imaginer un chemin réversible fictif reliant les mêmes états, indépendant du chemin réellement suivi.
- Utiliser l'expression fournie de l'entropie du gaz parfait : $\Delta S=nC_{v,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}+nR\ln\dfrac{V_f}{V_i}=nC_{p,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}-nR\ln\dfrac{P_f}{P_i}$.
- Utiliser l'expression de l'entropie d'une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique $c$ : $\Delta S=mc\ln\dfrac{T_f}{T_i}$, indépendante de la pression.
- Sur un palier de changement d'état à la température $T$, relier variation d'entropie et enthalpie de transition : $\Delta s_{12}(T)=\dfrac{\Delta h_{12}(T)}{T}$.
- Analyser le cas particulier d'une évolution adiabatique : $S_{\text{éch}}=0$ donc $\Delta S=S_{\text{créée}}$ ; relier alors le signe de $S_{\text{créée}}$ à une cause physique précise de l'irréversibilité (frottements, écart de température fini, détente sans travail).
6 exercices corrigés dans ce chapitre.
Machines thermiques dithermes
À maîtriser :
- Une machine thermique fait décrire un cycle à un fluide : sur un cycle, toute fonction d'état revient à sa valeur initiale, en particulier $\Delta U_{\text{cycle}}=0$ et $\Delta S_{\text{cycle}}=0$ pour le fluide.
- Premier principe sur le cycle : $W_{\text{cycle}}+\displaystyle\sum_iQ_i=0$, où $W_{\text{cycle}}$ et les $Q_i$ sont les travaux et chaleurs reçus par le fluide sur un cycle complet.
- Inégalité de Clausius sur un cycle ditherme entre une source chaude $T_c$ et une source froide $T_f$ : $\dfrac{Q_c}{T_c}+\dfrac{Q_f}{T_f}\leq0$, l'égalité correspondant à un cycle réversible ; c'est elle qui fonde le théorème de Carnot.
- Fixer le sens des échanges avant tout calcul : un moteur fournit du travail ($W_{\text{cycle}}<0$) en recevant $Q_c>0$ de la source chaude et en cédant $Q_f<0$ à la source froide ; un récepteur (réfrigérateur, pompe à chaleur) reçoit du travail ($W_{\text{cycle}}>0$).
- Théorème de Carnot : le rendement d'un moteur ditherme vérifie $\eta=-\dfrac{W_{\text{cycle}}}{Q_c}\leq1-\dfrac{T_f}{T_c}$ ; l'efficacité d'un réfrigérateur vérifie $e=\dfrac{Q_f}{W_{\text{cycle}}}\leq\dfrac{T_f}{T_c-T_f}$ ; celle d'une pompe à chaleur vérifie $e=\dfrac{-Q_c}{W_{\text{cycle}}}\leq\dfrac{T_c}{T_c-T_f}$, chaque borne n'étant atteinte que pour un cycle réversible.
- Lire un cycle sur un diagramme $(P,V)$ : l'aire algébrique qu'il délimite donne $|W_{\text{cycle}}|$, et le sens de parcours donne le signe, un cycle parcouru dans le sens horaire correspond à un moteur ($W_{\text{cycle}}<0$).
- Lire un cycle réversible sur un diagramme $(T,S)$ : l'aire sous une isotherme donne directement la chaleur échangée à cette température, $Q=T\Delta S$, ce qui redonne le rendement de Carnot sans calcul intermédiaire.
6 exercices corrigés dans ce chapitre.
Statique des fluides
À maîtriser :
- La pression $P$ est une grandeur scalaire, définie en tout point d'un fluide, isotrope (théorème de Pascal) : elle ne dépend pas de l'orientation de la surface fictive sur laquelle on la mesure.
- Poser l'axe $Oz$ et son sens avant tout calcul : la loi fondamentale $\dfrac{dP}{dz}=-\rho g$ ne vaut que pour $Oz$ vertical ascendant.
- Fluide incompressible et homogène : $P=P_0+\rho g h$ avec $h$ la profondeur comptée positivement vers le bas depuis la surface où règne $P_0$.
- Atmosphère isotherme (gaz parfait) : $P(z)=P_0\exp(-z/H)$ avec la hauteur caractéristique $H=\dfrac{RT}{Mg}\approx 8\ \text{km}$.
- Poussée d'Archimède : $\vec\Pi=\rho_f V_{\text{immergé}} g\,\vec u_z$, verticale ascendante, appliquée au centre de poussée, indépendante de la nature du corps immergé.
- Résultante de forces de pression sur une surface : $\vec F=\displaystyle\iint_\Sigma P\,d\vec S$ ; utilise d'abord les symétries du problème pour connaître la direction avant de calculer une composante.
- Équivalent volumique des forces de pression : $-\vec{\text{grad}}\,P$, le fluide est poussé des hautes vers les basses pressions.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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