Révisions de SI, Passage PCSI vers PSI
Révisions de SI en prépa PCSI (sup vers spé PSI ou PC) : 25 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 5 chapitres de la fiche
Analyse et modélisation des systèmes
À maîtriser :
- Le besoin s'exprime par une bête à cornes (à qui le système rend-il service, sur quoi agit-il, dans quel but) puis se formalise en cahier des charges fonctionnel (CdCF) : chaque critère est associé à un niveau et à une flexibilité.
- La chaîne d'énergie transforme la puissance : alimenter $\to$ moduler $\to$ convertir $\to$ transmettre, jusqu'à l'effecteur ; elle est pilotée par la chaîne d'information : acquérir $\to$ traiter $\to$ communiquer.
- Un capteur transforme une grandeur physique en signal exploitable par la partie commande ; un préactionneur module la puissance sur ordre logique (distributeur, variateur, relais) ; un actionneur convertit l'énergie modulée en énergie mécanique utile (moteur, vérin).
- Un transmetteur adapte la puissance mécanique sans changer sa nature (réducteur, courroie, vis-écrou) : il modifie le couple et la vitesse en conservant, pour un mécanisme idéal, le produit couple $\times$ vitesse (à un rendement $\eta$ près en réalité).
- Le rendement d'une chaîne de transmetteurs en série est le produit des rendements élémentaires ; il ne s'additionne jamais.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Cinématique du solide
À maîtriser :
- Un solide est indéformable : la distance entre deux points quelconques du solide reste constante au cours du mouvement ; le champ des vecteurs vitesse vérifie la relation de Varignon $\vec{V}_{B \in S/R} = \vec{V}_{A \in S/R} + \vec{\Omega}_{S/R} \wedge \vec{AB}$.
- Les liaisons usuelles ont des mobilités caractéristiques : pivot (1 rotation), glissière (1 translation), pivot glissant (1 rotation et 1 translation coaxiales), rotule (3 rotations concourantes).
- La loi entrée-sortie géométrique d'un système vis-écrou de pas $p$ s'écrit $x = \dfrac{p}{2\pi}\,\theta$ ; celle d'un pignon-crémaillère de rayon primitif $R$ s'écrit $x = R\,\theta$.
- Au point de contact $I$ entre deux solides $1$ et $2$, la condition de roulement sans glissement impose l'égalité des vecteurs vitesse : $\vec{V}_{I \in 1/0} = \vec{V}_{I \in 2/0}$.
- Pour un train d'engrenages ou un mécanisme composé, les vitesses angulaires se composent : $\omega_{2/0} = \omega_{2/1} + \omega_{1/0}$ ; les rapports de réduction élémentaires se multiplient entre eux pour donner le rapport global.
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Statique des solides
À maîtriser :
- Une action mécanique exercée sur un solide se modélise par un torseur, de résultante $\vec{R}$ (force) et de moment $\vec{M}_O$ en un point $O$ ; une liaison parfaite ne transmet que certaines composantes, définies par ses degrés de liberté (une liaison pivot d'axe $(O,\vec{z})$ transmet $R_x, R_y, R_z, M_x, M_y$ mais pas $M_z$).
- Le principe fondamental de la statique appliqué à un solide isolé en équilibre impose $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ (résultante nulle) et $\sum \vec{M}_{O,ext} = \vec{0}$ en tout point $O$ (moment nul).
- Un solide soumis à exactement deux glisseurs est en équilibre si et seulement si les deux forces ont même droite d'action, sont opposées et de même norme ; un solide soumis à exactement trois glisseurs coplanaires est en équilibre si leurs droites d'action sont concourantes en un même point (ou parallèles).
- En présence de frottement, la loi de Coulomb impose, tant qu'il y a adhérence, $\|\vec{T}\| \leq f\,\|\vec{N}\|$ ; à la limite du glissement, $\|\vec{T}\| = f\,\|\vec{N}\|$, ce qui définit l'angle de frottement $\varphi = \arctan f$.
- La résolution d'un problème de statique suit une démarche rituelle : isolement du solide (ou du sous-système) étudié, bilan exhaustif des actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui, choix d'un point de réduction adapté, application du principe fondamental de la statique, puis projection sur une base pertinente pour résoudre le système d'équations scalaires obtenu.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Systèmes asservis
À maîtriser :
- Un système asservi compare en permanence une sortie mesurée à une consigne : la chaîne directe (comparateur, correcteur, actionneur, système) élabore l'écart $\varepsilon(p) = E(p) - S_{retour}(p)$ et le corrige, tandis que la chaîne de retour (capteur) ramène l'image de la sortie vers le comparateur.
- La fonction de transfert d'un système linéaire est le rapport, en variable de Laplace $p$, de la sortie sur l'entrée à conditions initiales nulles : $H(p) = S(p)/E(p)$.
- Un système du premier ordre, de fonction de transfert $H(p) = \dfrac{K}{1+\tau p}$, répond à un échelon d'amplitude $e_0$ par $s(t) = K e_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ ; son temps de réponse à $5\%$ vaut $t_{5\%} = 3\tau$.
- Un système du deuxième ordre, de fonction de transfert $H(p) = \dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$, présente trois régimes selon l'amortissement $\xi$ : apériodique ($\xi > 1$), critique ($\xi = 1$), pseudo-périodique avec dépassement ($\xi < 1$), le premier dépassement relatif valant $D_1 = e^{-\pi \xi/\sqrt{1-\xi^2}}$.
- Pour un retour unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée s'obtient à partir de celle en boucle ouverte $H_{BO}(p)$ par $H_{BF}(p) = \dfrac{H_{BO}(p)}{1+H_{BO}(p)}$ ; l'erreur statique en réponse à un échelon diminue quand le gain de boucle augmente.
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Chaîne d'information : capteurs, logique et comportements séquentiels
À maîtriser :
- La chaîne d'information d'un système asservi se décompose en trois fonctions : acquérir (capteurs, codeurs), traiter (calculateur, logique câblée ou programmée) et communiquer (interface, affichage, réseau) ; elle pilote la chaîne d'énergie à partir des grandeurs qu'elle produit.
- Un capteur est caractérisé par son étendue de mesure (plage de la grandeur physique mesurable), sa résolution (plus petite variation détectable) et sa sensibilité $S=\Delta s/\Delta e$ (rapport variation de sortie sur variation d'entrée) ; un codeur incrémental délivre $N_p$ points (impulsions) par tour, ce qui définit une résolution angulaire de $360°/N_p$.
- Un convertisseur analogique-numérique (CAN) de $n$ bits code une tension d'étendue $V_{max}$ en un quantum $q = V_{max}/2^n$ ; l'erreur de quantification maximale commise sur toute mesure vaut $q/2$.
- En logique combinatoire, une fonction est entièrement définie par sa table de vérité ; elle se simplifie par les lois de l'algèbre de Boole (distributivité, absorption, complémentation) et par les lois de De Morgan $\overline{A+B}=\bar A\cdot \bar B$, $\overline{A\cdot B}=\bar A+\bar B$.
- Un diagramme d'états SysML décrit le comportement séquentiel d'un système par un ensemble fini d'états reliés par des transitions, chacune associée à un événement, une garde (condition booléenne) et éventuellement une action ; un état sans transition sortante activable est un état de blocage, à proscrire dans toute spécification correcte.
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