Révisions de Probabilités, Passage TSI 1 vers TSI 2

Révisions de Probabilités en prépa TSI : 15 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 3 chapitres de la fiche

À maîtriser :

Univers fini $\Omega$ muni d'une probabilité $P$ : $P(\Omega)=1$ et $0 \le P(A) \le 1$ pour tout événement $A$.
Cas d'équiprobabilité (univers uniforme) : $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$.
Dénombrement : nombre de listes ordonnées de $p$ éléments distincts parmi $n$ (arrangements) $= \dfrac{n!}{(n-p)!}$ ; nombre de combinaisons (sous-ensembles à $p$ éléments) $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
Complémentaire : $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
Union et incompatibilité : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; si $A \cap B = \varnothing$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

À maîtriser :

Probabilité conditionnelle : si $P(B) \neq 0$, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, donc $P(A \cap B) = P_B(A) \times P(B)$.
Arbre pondéré : sur chaque branche figure une probabilité conditionnelle ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
Formule des probabilités totales : si $(B_i)_i$ forme une partition de $\Omega$ (événements deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$, tous de probabilité non nulle), $P(A) = \sum_i P(A \cap B_i) = \sum_i P_{B_i}(A) \, P(B_i)$.
Formule de Bayes : $P_A(B) = \dfrac{P_B(A) \, P(B)}{P(A)}$, permet d'inverser le sens du conditionnement.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ce qui équivaut à $P_B(A) = P(A)$ lorsque $P(B) \neq 0$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

À maîtriser :

Loi d'une variable aléatoire finie $X$ prenant les valeurs $x_1, \dots, x_n$ : la donnée des probabilités $P(X = x_i)$, avec $\sum_i P(X = x_i) = 1$.
Espérance : $E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \, P(X = x_i)$ (moyenne pondérée des valeurs prises).
Variance et écart type : $V(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - (E(X))^2$ (formule de König-Huygens), et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $P(X=1) = p$, $P(X=0) = 1-p$, avec $E(X) = p$ et $V(X) = p(1-p)$.
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ pour $0 \le k \le n$, avec $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

15 exercices corrigés avec indice et rappel de cours, en accès libre.