Révisions de Probabilités, Passage PCSI vers PSI ou PC
Révisions de Probabilités en prépa PCSI : 18 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 3 chapitres de la fiche
Dénombrement
À maîtriser :
- Listes et arrangements : le nombre de $p$-listes (avec répétition possible) d'un ensemble à $n$ éléments vaut $n^p$ ; le nombre de $p$-listes d'éléments deux à deux distincts (arrangements) vaut $\dfrac{n!}{(n-p)!}$, et le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments vaut $n!$.
- Applications et injections : le nombre d'applications d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments vaut $n^p$ ; le nombre d'injections ($p\le n$) vaut $\dfrac{n!}{(n-p)!}$, la même formule que les arrangements car choisir une injection revient à choisir une image distincte pour chaque antécédent.
- Combinaisons : le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments vaut $\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$, avec la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ qui traduit le choix des éléments retenus ou de ceux écartés.
- Cardinal de l'ensemble des parties : $|\mathcal P(E)|=2^n$ pour $|E|=n$, obtenu en sommant $\sum_{p=0}^n \binom{n}{p}$ ou par bijection avec les applications de $E$ dans $\{0,1\}$.
- Cardinaux d'union et de complémentaire : $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$, avec $|A\cup B|=|A|+|B|$ si $A$ et $B$ sont disjoints, et $|\overline A|=|E|-|A|$ pour $A\subset E$.
- Principe des bergers : si une application $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est telle que chaque antécédent $f^{-1}(y)$ a le même cardinal $k$, alors $|E|=k\times|F|$. C'est l'outil pour compter des objets qui se regroupent en classes de même taille, comme les anagrammes d'un mot à lettres répétées.
- Formules de Pascal et du binôme, prouvées par double dénombrement : $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$ et $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}$.
6 exercices corrigés dans ce chapitre.
Probabilités conditionnelles
À maîtriser :
- Espace probabilisé fini : une probabilité $P$ sur un univers fini $\Omega$ est déterminée par la distribution $(P(\{\omega\}))_{\omega\in\Omega}$, de somme 1. En situation d'équiprobabilité, $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$.
- Probabilité conditionnelle : si $P(B)>0$, on pose $P_B(A)=P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. L'application $P_B$ est elle-même une probabilité sur $\Omega$, avec ses propres règles de calcul.
- Formule des probabilités composées : pour une succession d'événements, $P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots$, chaque facteur se lisant sur l'état du système après les étapes précédentes.
- Système complet d'événements et formule des probabilités totales : si $(B_i)_{i}$ est une partition de $\Omega$ en événements de probabilité non nulle, alors pour tout événement $A$, $P(A)=\sum_i P(B_i)\,P_{B_i}(A)$.
- Formule de Bayes : elle inverse le sens du conditionnement, $P_A(B_i)=\dfrac{P(B_i)\,P_{B_i}(A)}{\sum_j P(B_j)\,P_{B_j}(A)}$, le dénominateur se calculant par probabilités totales.
- Indépendance de deux événements : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ce qui équivaut à $P_B(A)=P(A)$ lorsque $P(B)>0$. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline B$ le sont aussi.
- Indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements : elle exige que l'égalité produit soit vraie pour toute sous-famille, pas seulement deux à deux. L'indépendance deux à deux n'implique jamais l'indépendance mutuelle.
6 exercices corrigés dans ce chapitre.
Variables aléatoires
À maîtriser :
- Loi d'une variable aléatoire : la loi de $X$ est entièrement déterminée par la distribution $(P(X=x))_{x\in X(\Omega)}$, de somme 1. La fonction de répartition $F(t)=P(X\le t)$ en est une autre écriture, utile pour comparer deux variables.
- Espérance et sa linéarité : $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$, avec $E(aX+b)=aE(X)+b$ pour tous réels $a,b$, valable même si les variables ne sont pas indépendantes. Formule de transfert : $E(f(X))=\sum_{x} f(x)P(X=x)$.
- Variance, écart type et formule de König-Huygens : $V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)=E(X^2)-E(X)^2$, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$, et $V(aX+b)=a^2V(X)$ (attention à l'exposant, absent pour l'espérance).
- Lois usuelles à connaître par cœur : uniforme $X\sim\mathcal U(\llbracket1,n\rrbracket)$ avec $E(X)=\dfrac{n+1}{2}$ ; Bernoulli $X\sim\mathcal B(p)$ avec $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ ; binomiale $X\sim\mathcal B(n,p)$, somme de $n$ Bernoulli indépendantes de même paramètre, avec $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.
- Couple de variables aléatoires : la loi conjointe $P(X=x,Y=y)$ détermine tout, et les lois marginales s'en déduisent en sommant sur l'autre variable, $P(X=x)=\sum_y P(X=x,Y=y)$.
- Indépendance de deux variables aléatoires : $X\perp Y$ si et seulement si $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tout couple $(x,y)$. Dans ce cas, $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.
- Covariance et variance d'une somme dans le cas général : $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$. Une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance, seule l'implication réciproque est vraie.
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