Révisions de Probabilités, Passage ECG 1 vers ECG 2
Révisions de Probabilités en prépa ECG : 20 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 4 chapitres de la fiche
Dénombrement
À maîtriser :
- Le principe multiplicatif : pour une expérience en $p$ étapes indépendantes offrant respectivement $n_1, n_2, \dots, n_p$ possibilités, le nombre total d'issues est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p$. C'est le réflexe de départ devant tout dénombrement.
- Les listes et arrangements : le nombre de $p$-listes d'un ensemble à $n$ éléments (choix avec ordre et répétition possible) est $n^p$ ; le nombre d'arrangements (avec ordre, sans répétition) est $A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}$.
- Les combinaisons : choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre et sans répétition se compte avec $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
- Les propriétés des coefficients binomiaux : symétrie $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$, formule de Pascal $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$, et le binôme de Newton $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$.
- Le cardinal d'une réunion : $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$, et le cardinal d'un produit cartésien $\mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times \mathrm{Card}(B)$.
- La distinction tirage avec remise contre tirage sans remise : avec remise et ordre compté, on retombe sur $n^p$ ; sans remise et ordre compté, sur $A_n^p$.
- Le tirage simultané : tirer $p$ éléments d'un coup dans un ensemble à $n$ éléments (un paquet, pas une séquence) se compte avec $\binom{n}{p}$, exactement comme une combinaison.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Probabilités conditionnelles
À maîtriser :
- L'espace probabilisé fini : une probabilité $P$ sur un univers fini $\Omega$ vérifie $P(\Omega) = 1$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ pour $A, B$ incompatibles. En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$.
- La probabilité conditionnelle : pour $P(B) \neq 0$, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. C'est une probabilité à part entière sur $\Omega$, restreinte à l'information « $B$ est réalisé ».
- La formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(B) \, P_B(A)$, et sa généralisation à $n$ événements $P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \, P_{A_1}(A_2) \, P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots$, indispensable pour les tirages successifs sans remise.
- Le système complet d'événements $(A_1, \dots, A_n)$ : des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$, avec $P(A_i) \neq 0$ pour tout $i$. C'est la brique de tout raisonnement par cas.
- La formule des probabilités totales : si $(A_1, \dots, A_n)$ est un système complet, alors pour tout événement $B$, $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \, P_{A_i}(B)$.
- La formule de Bayes : $P_B(A_i) = \dfrac{P(A_i) \, P_{A_i}(B)}{\sum_{j} P(A_j) \, P_{A_j}(B)}$, qui inverse le sens du conditionnement quand l'énoncé donne $P_{A_i}(B)$ et demande $P_B(A_i)$.
- L'indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) P(B)$, ce qui équivaut à $P_B(A) = P(A)$ quand $P(B) \neq 0$. L'indépendance mutuelle de $n$ événements exige l'égalité produit pour toute sous-famille, pas seulement deux à deux.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Variables aléatoires finies
À maîtriser :
- La loi d'une variable aléatoire finie $X$ : la donnée de $X(\Omega)$ et de $P(X = x_i)$ pour chaque valeur $x_i$, avec $\sum_i P(X = x_i) = 1$. C'est le point de départ de tout calcul sur $X$.
- La fonction de répartition $F_X(t) = P(X \leq t)$ : constante par morceaux, croissante, elle vaut $0$ avant la plus petite valeur de $X$ et $1$ à partir de la plus grande.
- L'espérance $E(X) = \sum_i x_i \, P(X = x_i)$ et sa linéarité : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$, valable même quand $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes pour $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$.
- Le théorème de transfert : $E(g(X)) = \sum_i g(x_i) \, P(X = x_i)$, qui évite de déterminer la loi de $g(X)$ pour calculer son espérance.
- La variance $V(X) = E\big((X - E(X))^2\big)$, l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, et la formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, presque toujours plus rapide à calculer que la définition.
- Les lois usuelles : uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$ ($E(X) = \frac{n+1}{2}$), Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ ($E(X) = p$, $V(X) = p(1-p)$), binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ($P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$), et si elle est au programme de ta voie, l'hypergéométrique pour un tirage sans remise.
- Le couple de variables aléatoires $(X, Y)$ : la loi conjointe $P(X=x_i, Y=y_j)$ détermine les lois marginales par sommation, $P(X=x_i) = \sum_j P(X=x_i, Y=y_j)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) P(Y=y_j)$ pour tout $(i,j)$, et alors $E(XY) = E(X) E(Y)$.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Python : simuler, calculer, tracer
À maîtriser :
- Simuler une expérience aléatoire de base : `random.random()` renvoie un flottant uniforme dans $[0,1[$, ce qui permet de simuler un événement de probabilité $p$ en testant `random.random() < p` ; `rd.randint(a, b)` simule un tirage uniforme entier entre `a` et `b` inclus.
- Simuler une loi usuelle directement : `numpy.random.binomial(n, p)` renvoie en une ligne une réalisation d'une loi $\mathcal{B}(n,p)$, sans reconstruire la boucle sur $n$ épreuves de Bernoulli.
- Estimer une probabilité ou une espérance par répétition : on simule l'expérience un grand nombre `N` de fois, on compte ou on cumule dans une liste, puis on divise par `N`. La fréquence observée est une estimation de la probabilité, la moyenne des résultats une estimation de l'espérance.
- Écrire une boucle de simulation d'une variable aléatoire : une boucle `for` qui répète l'expérience, un compteur ou une liste qui accumule les résultats, puis un calcul final hors de la boucle.
- Remplir et exploiter une liste : construire une liste par compréhension ou par `append` dans une boucle, puis la parcourir avec `sum`, `len`, ou un second `for` pour en extraire une statistique.
- Tracer un histogramme avec `matplotlib.pyplot.hist` : il prend en argument la liste des résultats simulés et donne une image de la loi empirique, à comparer visuellement à la loi théorique attendue.
- Lire un script fourni : identifier ce que chaque variable représente (un compteur, une liste de résultats, un indice de boucle), reconnaître la loi simulée à sa formule de tirage, et distinguer ce que le script calcule (une probabilité, une espérance, une liste de valeurs) avant de répondre.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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