Révisions d'Optique et d'ondes, Passage PCSI vers PSI ou PC
Révisions d'Optique et d'ondes en prépa PCSI : 15 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 3 chapitres de la fiche
Optique géométrique : lentilles minces et instruments
À maîtriser :
- Lois de Snell-Descartes : réflexion, $i_1=i_2$, et réfraction, $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ ; pour un rayon allant du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent ($n_1>n_2$), au-delà de l'angle limite $\theta_{lim}=\arcsin(n_2/n_1)$, il y a réflexion totale et aucune lumière ne franchit plus le dioptre.
- Approximation de Gauss (rayons paraxiaux, peu inclinés sur l'axe optique et proches de celui-ci) : seule condition sous laquelle un système optique centré est rigoureusement stigmatique et aplanétique ; elle justifie la construction de l'image par trois rayons remarquables, celui parallèle à l'axe qui ressort par $F'$, celui passant par le centre optique $O$ qui n'est pas dévié, et celui passant par $F$ qui ressort parallèle à l'axe.
- Relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince, origine au centre optique $O$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{\overline{OF'}}=V$ (vergence en dioptries si les distances sont en mètres), avec le grandissement transversal $\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ ; pour une lentille mince dans l'air, $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$.
- Œil réduit à une lentille de vergence variable, le cristallin, formant l'image sur un écran fixe, la rétine : l'accommodation augmente la vergence du cristallin pour faire la mise au point entre le punctum remotum $PR$ (à l'infini pour un œil emmétrope) et le punctum proximum $PP$ (distance minimale de vision nette, $d_m\approx 25\,\text{cm}$ conventionnels).
- Grossissement des instruments d'observation : loupe, $G_c=0{,}25/f'$ (grossissement commercial, distances en mètres) ; lunette astronomique afocale, $G=f_1'/f_2'$ (rapport des distances focales objectif sur oculaire). Pour un appareil photo, assimilé à une lentille formant l'image sur un capteur, la profondeur de champ diminue quand on ouvre le diaphragme (nombre d'ouverture plus petit) ou qu'on augmente la focale.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Propagation d'un signal et ondes stationnaires
À maîtriser :
- Onde progressive : un signal qui se propage sans déformation le long d'un axe s'écrit $s(x,t)=f(x-ct)$ (propagation dans le sens des $x$ croissants, célérité $c>0$) ou $f(x+ct)$ (sens opposé) ; une telle onde possède une double périodicité, temporelle ($T$, à $x$ fixé) et spatiale ($\lambda=cT$, à $t$ fixé).
- Onde progressive sinusoïdale (harmonique) : $s(x,t)=s_0\cos(\omega t-kx+\varphi)$, avec la relation de dispersion $\omega=kc$ (milieu non dispersif) ; le déphasage entre deux points séparés de $\Delta x$ vaut $\Delta\varphi=k\Delta x=2\pi\Delta x/\lambda$.
- Onde stationnaire sur une corde de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités : elle ne peut exister qu'aux fréquences propres $f_n=n\,c/(2L)$ ($n$ entier positif, $c=\sqrt{T/\mu}$ la célérité, $T$ la tension et $\mu$ la masse linéique) ; l'expérience de Melde met en évidence une résonance (fuseaux stationnaires bien formés) lorsque la fréquence imposée par le vibreur coïncide avec l'une de ces fréquences propres.
- Tuyaux sonores : un tuyau ouvert aux deux extrémités a des fréquences propres $f_n=nc/(2L)$ (tous les harmoniques), un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l'autre a des fréquences propres $f_n=(2n-1)c/(4L)$ (harmoniques impairs seulement), $c$ étant la célérité du son dans l'air contenu.
- Analyse spectrale : tout signal périodique de fréquence $f$ se décompose en une somme de sa fondamentale (fréquence $f$) et de ses harmoniques (fréquences multiples entières de $f$), chacune avec sa propre amplitude ; c'est ce spectre de raies qui distingue le timbre de deux sons de même hauteur.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Interférences et diffraction
À maîtriser :
- Superposition de deux ondes harmoniques de même fréquence en un point : la différence de marche $\delta$ (différence de chemin optique parcouru par les deux ondes) fixe le déphasage $\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\delta$ entre elles en ce point.
- Conditions d'interférences constructives, $\delta=k\lambda$ ($k\in\mathbb{Z}$, $\Delta\varphi=0\ [2\pi]$), et destructives, $\delta=(k+\tfrac12)\lambda$ ($\Delta\varphi=\pi\ [2\pi]$) ; pour deux ondes de même amplitude, l'intensité résultante s'écrit $I=2I_0(1+\cos\Delta\varphi)$, où $I_0$ est l'intensité de chacune des deux ondes prise séparément.
- Trous d'Young : deux sources cohérentes séparées de $a$, écran à distance $D\gg a$, interfrange (distance entre deux franges brillantes consécutives) $i=\lambda D/a$ ; les franges sont des droites parallèles aux fentes.
- Battements : la superposition de deux ondes de fréquences voisines mais distinctes $f_1$ et $f_2$ produit, en un point fixe, une amplitude modulée dans le temps, perçue comme une pulsation de l'intensité à la fréquence de battement $f_{bat}=|f_1-f_2|$.
- Diffraction par une fente de largeur $a$ : le faisceau diffracté s'étale avec un demi-angle caractéristique $\theta\approx\lambda/a$ (petits angles) ; la limite de résolution d'un instrument (critère qualitatif) est atteinte lorsque les taches de diffraction de deux points voisins se recouvrent au point de ne plus pouvoir les distinguer.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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