Révisions de Mécanique, Passage TSI 1 vers TSI 2
Révisions de Mécanique en prépa TSI (TSI 1 vers TSI 2) : 20 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 4 chapitres de la fiche
Cinématique du point
À maîtriser :
- En coordonnées cartésiennes : $\vec{v}=\dot{x}\,\vec{u_x}+\dot{y}\,\vec{u_y}$ et $\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{u_x}+\ddot{y}\,\vec{u_y}$.
- Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$, $v(t)=v_0+at$, $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$.
- Mouvement circulaire : $v=R\dot\theta=R\omega$, accélération centripète $a_n=\dfrac{v^2}{R}=R\omega^2$ dirigée vers le centre, accélération tangentielle $a_t=R\dot\omega$.
- Trajectoire paramétrée : éliminer le temps entre $x(t)$ et $y(t)$ donne l'équation cartésienne de la trajectoire.
- Base polaire $(\vec{u_r},\vec{u_\theta})$ : $\vec{v}=\dot r\,\vec{u_r}+r\dot\theta\,\vec{u_\theta}$, utile dès que la distance à un point fixe varie (prépare la TSI 2).
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Dynamique du point (PFD)
À maîtriser :
- Principe d'inertie, PFD $\sum\vec F=m\vec a$, principe des actions réciproques $\vec F_{1\to2}=-\vec F_{2\to1}$ : les trois lois de Newton.
- Bilan de forces types : poids $\vec P=m\vec g$, réaction normale $\vec N$, tension de câble $\vec T$, frottement fluide linéaire $\vec f=-\lambda\vec v$.
- Méthode systématique : système, référentiel galiléen, bilan des forces, puis projection du PFD sur une base adaptée au mouvement.
- Chute avec frottement fluide linéaire : $m\dot v=mg-\lambda v$, vitesse limite $v_{lim}=\dfrac{mg}{\lambda}$, solution $v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=m/\lambda$.
- Plan incliné d'angle $\alpha$ : composante du poids le long de la pente $mg\sin\alpha$, composante normale $mg\cos\alpha$ compensée par $N$.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Approche énergétique
À maîtriser :
- Travail élémentaire d'une force : $\delta W=\vec F\cdot d\overrightarrow{OM}$ ; puissance $P=\vec F\cdot\vec v$.
- Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c=\sum W(\vec F)$, avec $E_c=\frac12mv^2$.
- Énergies potentielles usuelles : pesanteur $E_{pp}=mgz$, élastique $E_{pe}=\frac12kx^2$ ; une force est conservative si $\vec F=-\overrightarrow{\text{grad}}(E_p)$.
- Énergie mécanique $E_m=E_c+E_p$ : conservée si seules des forces conservatives travaillent ; sinon $\Delta E_m=W(\text{forces non conservatives})$.
- La puissance des frottements est toujours négative (dissipation) ; la réaction normale sans frottement ne travaille jamais (perpendiculaire au déplacement).
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Solide en rotation autour d'un axe fixe
À maîtriser :
- Moment d'une force par rapport à un axe : $M_\Delta(\vec F)=F\cdot d$ (bras de levier $d$), ou vectoriellement $\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OM}\times\vec F$.
- Moment d'inertie $J_\Delta=\displaystyle\int r^2\,dm$ ; valeurs usuelles : cylindre plein $J=\frac12mR^2$, anneau mince $J=mR^2$, tige mince en bout $J=\frac13mL^2$.
- Théorème du moment cinétique (TMC) scalaire, analogue rotationnel du PFD : $J\ddot\theta=\sum M_\Delta$.
- Énergie cinétique de rotation : $E_c=\frac12J\omega^2$ ; le TEC s'applique aussi à un solide en rotation.
- Puissance d'un moment : $P=M\omega$, analogue de $P=\vec F\cdot\vec v$ en translation.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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