Révisions de Mécanique, Passage PCSI vers PSI ou PC

Révisions de Mécanique en prépa PCSI : 30 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 6 chapitres de la fiche

Cinématique et lois de Newton

À maîtriser :

Exprimer position, vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes ($\vec v=\dot x\vec u_x+\dot y\vec u_y+\dot z\vec u_z$) et reconnaître quand ce choix simplifie le problème (mouvement rectiligne ou trajectoire décrite point par point).
Exprimer vitesse et accélération en coordonnées cylindriques : $\vec v=\dot r\vec u_r+r\dot\theta\vec u_\theta+\dot z\vec u_z$, $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec u_\theta+\ddot z\vec u_z$, et savoir que $r$ constant annule directement le premier terme du coefficient radial.
Exprimer la vitesse et l'accélération dans la base de Frenet : $\vec v=v\vec u_t$ avec $v=\mathrm ds/\mathrm dt$, $\vec a=\dot v\vec u_t+\dfrac{v^2}{R}\vec u_n$, $R$ étant le rayon de courbure de la trajectoire.
Écrire le principe fondamental de la dynamique $m\vec a_G=\sum \vec F_{ext}$ dans un référentiel galiléen, après un bilan des forces exhaustif et nommé (poids, réaction normale, réaction tangentielle, tension, force de rappel, frottement fluide).
Reconnaître qu'un référentiel est galiléen par rapport à un référentiel de référence s'il est en translation rectiligne uniforme par rapport à lui ; savoir que le référentiel terrestre est supposé galiléen sauf mention contraire de l'énoncé.
Établir et résoudre l'équation différentielle d'une chute avec frottement fluide linéaire $-k\vec v$ : $\dot v+v/\tau=v_{lim}/\tau$, avec $\tau=m/k$ le temps caractéristique et $v_{lim}=mg/k$ la vitesse limite atteinte en régime permanent.
Choisir la base de projection en fonction de la trajectoire attendue (rectiligne, circulaire de rayon fixe, quelconque), pour obtenir des équations scalaires directement intégrables plutôt qu'un système couplé.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Approche énergétique

À maîtriser :

Calculer le travail élémentaire d'une force, $\delta W=\vec F\cdot\mathrm d\overrightarrow{OM}$ (ou $W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}$ si $\vec F$ est constante), et la puissance instantanée $P=\vec F\cdot\vec v$.
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{ext})$ entre deux instants, ou sa forme instantanée $\mathrm dE_c/\mathrm dt=\sum P(\vec F_{ext})$, en particulier quand la vitesse est constante.
Associer à une force conservative son énergie potentielle : pesanteur $E_p=mgz$, élastique $E_p=\dfrac12kx^2$, force constante $E_p=-F_0x$, gravitationnelle $E_p=-\dfrac{GMm}{r}$.
Appliquer le théorème de l'énergie mécanique, $E_m=E_c+E_p$ constante en l'absence de forces non conservatives, $\Delta E_m=W(\vec F_{nc})$ sinon (frottements : $\Delta E_m<0$).
Localiser les positions d'équilibre d'un système à un degré de liberté par $E_p'(x_0)=0$ (car $F_x=-\mathrm dE_p/\mathrm dx$), et conclure sur la stabilité avec le signe de $E_p''(x_0)$ (stable si minimum local).
Lire un portrait de phase associé à une courbe $E_p(x)$ : une trajectoire reste bornée (état lié, oscillation) tant que $E_m$ ne dépasse pas la valeur de $E_p$ aux points col voisins, et devient un état de diffusion sinon.
Utiliser le théorème de König pour l'énergie cinétique d'un système de deux points matériels, $E_c=\dfrac12M\dot x_G^2+\dfrac12\mu\dot x^2$, avec $M=m_1+m_2$ et $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ la masse réduite.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Oscillateur harmonique amorti et forcé

À maîtriser :

Écrire l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique non amorti $\ddot x+\omega_0^2x=0$, de solution générale $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, et identifier $\omega_0$ directement depuis le PFD ou depuis $E_p''(x_0)/m$.
Mettre l'équation de l'oscillateur amorti par frottement visqueux sous forme canonique, $\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2x=0$ (avec $\omega_0=\sqrt{k/m}$, $Q=\sqrt{km}/h$ pour $m\ddot x+h\dot x+kx=0$), et distinguer les régimes : pseudo-périodique si $Q>1/2$, critique si $Q=1/2$, apériodique si $Q<1/2$.
Relier le facteur de qualité à la décroissance de l'amplitude, $Q=2\pi E_{stockée}/|\Delta E|$ par pseudo-période, cohérent avec une enveloppe en $e^{-t/\tau}$ où $\tau=2Q/\omega_0$.
Établir, en régime sinusoïdal forcé et notation complexe, l'amplitude du régime permanent $X_m(\omega)$, et savoir qu'une résonance en amplitude n'existe que si $Q>1/\sqrt2$, à la pulsation $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$.
Reconnaître sur un portrait de phase le régime pseudo-périodique (trajectoire en spirale convergeant vers l'origine) et le régime apériodique (convergence directe sans enroulement).
Utiliser l'analogie formelle entre oscillateur mécanique et circuit RLC série (masse $\leftrightarrow$ inductance, raideur $\leftrightarrow$ inverse de la capacité, coefficient de frottement $\leftrightarrow$ résistance) pour transposer un résultat de cours d'un domaine à l'autre.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Moment cinétique et rotation

À maîtriser :

Définir le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point fixe $O$, $\vec L_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\vec v$, et par rapport à un axe orienté $\Delta$, $L_\Delta=\vec L_O\cdot\vec u_\Delta$ (projection indépendante du point choisi sur l'axe).
Calculer le moment d'une force par rapport à un point, $\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F$, et l'interpréter géométriquement par le bras de levier, $M=Fd$.
Appliquer le théorème du moment cinétique (TMC) en un point fixe $O$ dans un référentiel galiléen, $\mathrm d\vec L_O/\mathrm dt=\sum\vec M_O(\vec F_{ext})$, ou sa forme scalaire en un axe fixe $\Delta$, $\mathrm dL_\Delta/\mathrm dt=\sum M_\Delta(\vec F_{ext})$.
Reconnaître la conservation du moment cinétique quand le moment résultant est nul (force centrale par rapport à $O$, ou force passant par l'axe $\Delta$), et en déduire un mouvement plan et la loi des aires.
Étudier un mouvement à force centrale conservative avec l'énergie potentielle effective $E_{p,eff}(r)=E_p(r)+\dfrac{L_O^2}{2mr^2}$, et lire sur son graphe les états liés (bornés) et les états de diffusion.
Connaître les lois de Kepler pour un mouvement dans un champ newtonien : trajectoire elliptique de foyer l'astre attracteur, loi des aires, troisième loi $T^2=\dfrac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3$ (généralisée à deux corps, $a$ demi-grand axe de l'orbite relative).
Étudier un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ : moment d'inertie $J_\Delta=\int r^2\,\mathrm dm$, moment cinétique scalaire $L_\Delta=J_\Delta\dot\theta$, TMC scalaire $J_\Delta\ddot\theta=\sum M_\Delta$, énergie cinétique de rotation $E_c=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Mouvement de particules chargées dans des champs

À maîtriser :

Écrire la force de Lorentz subie par une particule de charge $q$ animée de la vitesse $\vec v$ dans des champs électrique $\vec E$ et magnétique $\vec B$ : $\vec F=q\vec E+q\vec v\wedge\vec B$, en distinguant la contribution électrique de la contribution magnétique.
Savoir que la force magnétique $q\vec v\wedge\vec B$ est à tout instant orthogonale à $\vec v$, donc de puissance nulle : elle ne modifie jamais l'énergie cinétique de la particule, seul le champ électrique le peut.
Étudier le mouvement dans un champ électrique uniforme $\vec E$ : accélération constante $\vec a=q\vec E/m$, gain d'énergie cinétique $\Delta E_c=qU$ pour une particule accélérée par une différence de potentiel $U$, et déviation parabolique dans un champ transverse (analogie avec la chute libre).
Étudier le mouvement dans un champ magnétique uniforme $\vec B$ avec $\vec v\perp\vec B$ : trajectoire circulaire uniforme de rayon de Larmor $R=\dfrac{mv}{|q|B}$ et de pulsation cyclotron $\omega_c=\dfrac{|q|B}{m}$ indépendante de $v$ ; avec une composante de vitesse parallèle à $\vec B$, trajectoire hélicoïdale de pas constant.
Reconnaître le principe des dispositifs usuels : accélérateur linéaire (champ $\vec E$ seul, gain d'énergie $qU$), sélecteur de vitesse et spectromètre de masse (tri par vitesse puis rayon $R\propto\sqrt m$ dans $\vec B$), cyclotron (alternance de phases d'accélération électrique et de déviation magnétique à fréquence fixe $\omega_c/2\pi$).

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Mouvement dans un champ de force centrale conservative

À maîtriser :

Reconnaître qu'une force centrale de centre $O$, $\vec F=f(r)\vec u_r$, a un moment nul en $O$ : le théorème du moment cinétique donne alors $\vec L_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\vec v=\text{cste}$, d'où un mouvement plan et la loi des aires, $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{L_O}{2m}=\text{cste}$.
Utiliser l'énergie potentielle effective $E_{p,eff}(r)=E_p(r)+\dfrac{L_O^2}{2mr^2}$ pour ramener l'étude radiale à un problème à une dimension, $E_m=\dfrac12m\dot r^2+E_{p,eff}(r)$, et discuter sur son graphe les états liés ($r$ borné entre deux racines de $E_{p,eff}(r)=E_m$) et les états de diffusion ($r$ non borné supérieurement, une seule racine).
Connaître le champ newtonien (gravitation $\vec F=-\dfrac{GMm}{r^2}\vec u_r$, ou Coulomb $\vec F=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$) et la trajectoire circulaire associée : vitesse $v=\sqrt{GM/r}$, période $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ (troisième loi de Kepler, $T^2\propto r^3$).
Calculer l'énergie mécanique d'une orbite circulaire newtonienne, $E_m=-\dfrac{GMm}{2r}$ (moitié de l'énergie potentielle, opposée à l'énergie cinétique), et savoir qu'un état lié correspond à $E_m<0$, un état de diffusion à $E_m\geqslant0$.
Définir les vitesses cosmiques autour d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$ : première vitesse cosmique (orbite circulaire rasante) $v_1=\sqrt{GM/R}$, vitesse de libération $v_{lib}=\sqrt{2GM/R}=v_1\sqrt2$, et déterminer le rayon d'une orbite géostationnaire à partir de la troisième loi de Kepler et de la période de rotation propre de l'astre.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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