Révisions d'Électricité, Passage TSI 1 vers TSI 2

Révisions d'Électricité en prépa TSI (TSI 1 vers TSI 2) : 30 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 6 chapitres de la fiche

Lois générales des circuits

À maîtriser :

  • Loi des noeuds : $\sum i_{entrants} = \sum i_{sortants}$, conséquence directe de la conservation de la charge.
  • Loi des mailles : $\sum u_k = 0$ sur une maille orientée ; en convention récepteur, $u=Ri$ pour une résistance.
  • Relations tension-courant des dipôles : résistance $u=Ri$, bobine $u=L\dfrac{di}{dt}$, condensateur $i=C\dfrac{du}{dt}$.
  • Associations : série $R_{eq}=\sum R_k$, parallèle $\dfrac{1}{R_{eq}}=\sum \dfrac{1}{R_k}$ ; diviseur de tension $u_2=E\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$, diviseur de courant $i_1=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$.
  • Modèle de Thévenin : tout dipôle linéaire actif vu de deux bornes équivaut à $(E_{th}, R_{th})$ série, $E_{th}$ = tension à vide, $R_{th}$ = résistance vue sources éteintes.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Régimes transitoires du premier ordre

À maîtriser :

  • Charge d'un condensateur à travers $R$ sous $E$, condensateur initialement déchargé : $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, $\tau=RC$.
  • Décharge d'un condensateur : $u_C(t)=u_C(0)\,e^{-t/\tau}$.
  • Établissement du courant dans une bobine sous $E$ à travers $R$ : $i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, $\tau=\dfrac{L}{R}$.
  • Continuité physique : $u_C$ et $i_L$ sont continues à tout instant (énergie stockée finie), contrairement à $i_C$ et $u_L$ qui peuvent être discontinues.
  • Temps de réponse à 5% : $t_{5\%}\approx3\tau$ (régime établi à 95% de sa valeur finale).

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Régime transitoire du second ordre (RLC)

À maîtriser :

  • Équation canonique (RLC série) : $\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{du_C}{dt}+\omega_0^2 u_C=\omega_0^2 E$, avec $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$.
  • Trois régimes selon $Q$ : apériodique si $Q<1/2$ (racines réelles distinctes), critique si $Q=1/2$ (racine double), pseudopériodique si $Q>1/2$ (racines complexes conjuguées).
  • En régime pseudopériodique : pseudo-pulsation $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}$ et pseudo-période $T=\dfrac{2\pi}{\omega_p}$.
  • Décrément logarithmique : $\delta=\ln\dfrac{u(t)}{u(t+T)}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{4Q^2-1}}$, mesurable directement sur un oscillogramme.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Régime sinusoïdal forcé

À maîtriser :

  • Impédances complexes ($\underline{u}=\underline{Z}\,\underline{i}$) : résistance $\underline{Z}_R=R$, bobine $\underline{Z}_L=jL\omega$, condensateur $\underline{Z}_C=\dfrac{1}{jC\omega}=-\dfrac{j}{C\omega}$.
  • Les lois de Kirchhoff et les associations série/parallèle restent valables en complexe, en remplaçant les résistances par les impédances $\underline{Z}$.
  • Résonance en intensité du RLC série : courant maximal ($i=E/R$) pour $\omega=\omega_0=1/\sqrt{LC}$ ; bande passante à $-3\text{ dB}$ : $\Delta\omega=\omega_0/Q$.
  • Puissance moyenne (valeurs efficaces) : $P=UI\cos\varphi$ avec $\varphi=\arg(\underline{u})-\arg(\underline{i})$ ; puissance apparente $S=UI$, facteur de puissance $\cos\varphi=P/S$.
  • Triangle des puissances : $S^2=P^2+Q_r^2$ avec $Q_r=UI\sin\varphi$ la puissance réactive (en VAR).

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Filtrage linéaire

À maîtriser :

  • Fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé : $\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{s}_{sortie}}{\underline{s}_{entrée}}$, grandeur complexe caractérisée par son module (gain réel) $|\underline{H}(j\omega)|$ et son argument (déphasage) $\varphi(\omega)=\arg\underline{H}(j\omega)$ entre la sortie et l'entrée.
  • Gain en décibels $G_{dB}=20\log_{10}|\underline{H}(j\omega)|$ ; diagramme de Bode : tracé de $G_{dB}$ et $\varphi$ en fonction de $\log_{10}\omega$, avec des asymptotes rectilignes de pente $\pm20n$ dB/décade au voisinage de $\omega\to0$ et $\omega\to\infty$ (n : ordre du comportement asymptotique).
  • Filtres du premier ordre RC : passe-bas $\underline{H}_{PB}=\dfrac{1}{1+j\omega/\omega_c}$, passe-haut $\underline{H}_{PH}=\dfrac{j\omega/\omega_c}{1+j\omega/\omega_c}$, avec $\omega_c=1/(RC)$ ; à la pulsation de coupure, $|\underline{H}(\omega_c)|=1/\sqrt2$, soit une atténuation de $3\text{ dB}$ (puissance transmise divisée par 2).
  • Filtre passe-bande du second ordre RLC série (sortie sur $R$) : $\underline{H}(j\omega)=\dfrac{1}{1+jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}$, pulsation centrale $\omega_0=1/\sqrt{LC}$, facteur de qualité $Q=L\omega_0/R$ ; bande passante à $-3\text{ dB}$ : $\Delta\omega=\omega_0/Q$, résultat exact quel que soit $Q$.
  • Un signal périodique se décompose en somme d'une fondamentale et d'harmoniques (série de Fourier) ; par linéarité du filtre, chaque harmonique de pulsation $n\omega$ le traverse indépendamment selon $\underline{H}(jn\omega)$, ce qui permet de prévoir la déformation en sortie d'un signal non sinusoïdal (créneau, dent de scie, etc.).

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Induction et forces de Laplace

À maîtriser :

  • Flux magnétique à travers un circuit : $\Phi=\iint\vec B\cdot d\vec S$ (surface s'appuyant sur le circuit, orientée selon le sens choisi pour parcourir le circuit) ; flux propre d'un circuit parcouru par un courant $i$ : $\Phi=Li$, où $L$ est l'auto-inductance (en henry).
  • Loi de Faraday : la fém induite vaut $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}$ ; loi de Lenz (loi de modération) : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance.
  • Force de Laplace sur un élément de circuit parcouru par un courant $i$ : $d\vec F=i\,d\vec\ell\times\vec B$ ; pour une tige rectiligne de longueur $\ell$ perpendiculaire à un champ uniforme $B$ : $F=Bi\ell$.
  • Rail de Laplace : couplage électrique ($e=-B\ell v$ dans la maille) et mécanique (PFD avec la force de Laplace $F=Bi\ell$) ; en régime permanent (vitesse limite), l'accélération s'annule.
  • Énergie magnétique $E_L=\dfrac12Li^2$ stockée par une bobine ; bilan de la conversion électromécanique : la puissance mécanique développée par les forces de Laplace est exactement compensée par la puissance électrique associée à la fém induite, principe à la base du haut-parleur, du moteur élémentaire à courant continu et, sans mouvement, du transformateur.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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