Révisions d'Électricité, Passage PCSI vers PSI ou PC
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Les 4 chapitres de la fiche
Régime transitoire du premier et du second ordre
À maîtriser :
- Charge d'un condensateur à travers une résistance sous une fem $E$ constante : $\tau\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E$ avec $\tau=RC$, de solution $u_C(t)=E+\left(u_C(0)-E\right)e^{-t/\tau}$.
- Établissement du courant dans une bobine réelle (résistance $R$, inductance $L$) alimentée par une fem $E$ : $\tau\dfrac{di}{dt}+i=\dfrac{E}{R}$ avec $\tau=L/R$, et $i(t)=\dfrac{E}{R}+\left(i(0)-\dfrac{E}{R}\right)e^{-t/\tau}$.
- Repérer les deux seules grandeurs continues à un instant de commutation : la tension aux bornes d'un condensateur $u_C$ et le courant traversant une bobine $i_L$, jamais $i_C$ ni $u_L$.
- Mettre l'équation du circuit RLC série sous forme canonique $\ddot u_C+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot u_C+\omega_0^2 u_C=\omega_0^2 E$ avec $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$, puis distinguer apériodique ($Q<1/2$), critique ($Q=1/2$) et pseudo-périodique ($Q>1/2$).
- En régime pseudo-périodique, exprimer la pseudo-pulsation $\omega=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}$, légèrement inférieure à $\omega_0$, et savoir qu'un facteur de qualité élevé traduit un amortissement faible.
- Faire un bilan énergétique sur un intervalle de temps : l'énergie fournie par le générateur se répartit entre énergie stockée (dans $C$ et $L$) et énergie dissipée par effet Joule, jamais l'inverse.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Régime sinusoïdal forcé : impédances, puissance, résonance
À maîtriser :
- Passer en notation complexe : associer à un signal physique $s(t)=S_m\cos(\omega t+\varphi)$ l'amplitude complexe $\underline{s}=S_m e^{j(\omega t+\varphi)}$, le signal physique étant toujours la partie réelle de $\underline{s}$.
- Connaître les trois impédances complexes de base : $\underline{Z}_R=R$, $\underline{Z}_C=\dfrac{1}{jC\omega}$, $\underline{Z}_L=jL\omega$, associées en série ou en parallèle exactement comme des résistances.
- Utiliser le diviseur de tension complexe $\underline{u}_2=\dfrac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}\,\underline{u}$ pour éviter de reposer les lois des mailles à chaque nouveau calcul.
- Calculer la puissance moyenne reçue par un dipôle : $P=\dfrac12 U_mI_m\cos\varphi=U_{eff}I_{eff}\cos\varphi$, où $\cos\varphi$ est le facteur de puissance et $\varphi$ le déphasage de $u$ par rapport à $i$.
- Repérer la résonance d'intensité du circuit RLC série forcé : $I_m$ est maximal à $\omega=\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ quelle que soit la valeur de $R$, avec $I_{m,max}=E_m/R$.
- Relier l'acuité de la résonance à $Q$ : la bande passante à $-3\,\text{dB}$ vaut $\Delta\omega=\omega_0/Q$, résonance d'autant plus aiguë que $Q$ est grand.
- Calculer la puissance en notation complexe : $P=\dfrac12\text{Re}\!\left(\underline{u}\,\underline{i}^{\,*}\right)$, utile dès que le circuit est entièrement traité en complexe.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Filtrage linéaire : fonction de transfert et diagramme de Bode
À maîtriser :
- Définir la fonction de transfert complexe $\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{s}}{\underline{e}}$ d'un filtre linéaire en régime sinusoïdal établi, et en déduire le gain réel $G=|\underline H|$ et la phase $\varphi=\arg(\underline H)$.
- Passer du gain au gain en décibels $G_{dB}=20\log_{10}|\underline H|$, et retenir les repères usuels : $G_{dB}=0$ pour $|\underline H|=1$, $G_{dB}=-3$ à la pulsation de coupure d'un filtre d'ordre 1.
- Reconnaître un passe-bas d'ordre 1, $\underline H=\dfrac{H_0}{1+j\omega/\omega_0}$ : asymptote horizontale en basses fréquences, pente $-20\,\text{dB/décade}$ en hautes fréquences.
- Reconnaître un passe-haut d'ordre 1, $\underline H=\dfrac{jH_0\,\omega/\omega_0}{1+j\omega/\omega_0}$ : pente $+20\,\text{dB/décade}$ en basses fréquences, asymptote horizontale en hautes fréquences.
- Reconnaître un passe-bande d'ordre 2, $\underline H=\dfrac{H_0}{1+jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}$ : maximum $|H_0|$ en $\omega_0$, bande passante à $-3\,\text{dB}$ de largeur $\Delta\omega=\omega_0/Q$.
- Identifier un comportement intégrateur (pente $-20\,\text{dB/décade}$, $|\underline H|\propto1/\omega$) ou dérivateur (pente $+20\,\text{dB/décade}$, $|\underline H|\propto\omega$) loin de la fréquence de coupure, avec sa condition de validité.
- Tracer un diagramme de Bode asymptotique en additionnant les contributions de chaque pôle et de chaque zéro, puis raccorder les asymptotes par un point à $-3\,\text{dB}$ (ou $+3\,\text{dB}$) à chaque pulsation caractéristique.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Induction électromagnétique et forces de Laplace
À maîtriser :
- Écrire la loi de Faraday $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}$ en respectant la convention d'orientation du contour (règle du tire-bouchon liant le sens positif du contour et celui de la normale utilisée pour calculer $\Phi$), $e$ étant alors une fem en convention générateur.
- Appliquer la loi de Lenz de façon qualitative : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance, variation de flux ou déplacement relatif.
- Modéliser l'auto-induction d'une bobine : flux propre $\Phi_p=Li$, fem auto-induite $e=-L\dfrac{di}{dt}$, schéma électrique équivalent d'une bobine réelle comme association série d'une résistance $r$ et d'une inductance $L$.
- Exprimer la force de Laplace sur une tige mobile dans un champ uniforme et stationnaire, rails de Laplace : $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$, et la fem induite par le mouvement $e=B\ell v$.
- Coupler systématiquement l'équation électrique (loi des mailles avec la fem induite $e=B\ell v$) et l'équation mécanique (PFD avec la force de Laplace $F=Bi\ell$, signe fixé par l'orientation choisie) : deux équations d'un même problème, reliées par $i$ et $v$.
- Faire un bilan de puissance : la puissance des forces de Laplace reçue par le circuit électrique est l'opposée de la puissance mécanique qu'elles développent sur la tige, $P_{Laplace,elec}=-P_{Laplace,meca}$, la conversion électromécanique elle-même ne produisant aucune perte propre, celles-ci venant uniquement de l'effet Joule.
- Reconnaître le modèle des rails de Laplace derrière les dispositifs usuels : haut-parleur électrodynamique (bobine mobile dans l'entrefer d'un aimant), moteur à courant continu à entrefer plan, freinage par induction (courants de Foucault).
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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