Révisions d'Analyse, Passage TSI 1 vers TSI 2

Révisions d'Analyse en prépa TSI (TSI 1 vers TSI 2) : 35 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 7 chapitres de la fiche

Suites numériques

À maîtriser :

Suite arithmétique de raison $r$ : $u_n=u_0+nr$ ; suite géométrique de raison $q$ : $u_n=u_0q^n$, et pour $q\neq1$, $\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Monotonie : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$ si $u_n>0$).
Limites usuelles : $q^n\to0$ si $|q|<1$, $q^n\to+\infty$ si $q>1$ ; croissances comparées $\dfrac{n^\alpha}{e^n}\to0$, $\dfrac{\ln n}{n^\alpha}\to0$, $\dfrac{a^n}{n!}\to0$.
Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ : vérifier d'abord qu'un intervalle stable par $f$ contient $u_0$, chercher les points fixes ($f(\ell)=\ell$), puis étudier monotonie et convergence.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Limites et continuité

À maîtriser :

Taux d'accroissement : si $f$ est dérivable en $a$, $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ ; c'est souvent le plus rapide pour lever une forme indéterminée $\frac00$.
Croissances comparées : $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to0$ et $x^\alpha\ln x\to0$ en $0^+$ ($\alpha>0$) ; $x^\alpha e^{-x}\to0$ et $\dfrac{e^x}{x^\alpha}\to+\infty$ en $+\infty$.
Asymptotes : verticale si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, horizontale si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$, oblique $y=ax+b$ si $\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-(ax+b))=0$ (obtenue par division euclidienne pour une fraction rationnelle).
Continuité en $a$ : $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Toute fonction usuelle (polynôme, $\exp$, $\ln$, $\sqrt{\ \cdot\ }$, $\sin$, $\cos$) est continue sur son domaine, et les opérations (somme, produit, quotient, composée) préservent la continuité.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a,b]$, elle prend toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$. Corollaire : si $f$ est de plus strictement monotone, l'équation $f(x)=k$ a une unique solution.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Dérivation et études de fonctions

À maîtriser :

Dérivées usuelles : $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\dfrac1x$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$.
Opérations : $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, dérivée d'une composée $(g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x))$.
Tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Lien signe de $f'$ et variations : $f'>0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante sur $I$ (et réciproquement pour $f'<0$) ; un extremum local en $a$ (avec $f$ dérivable) vérifie $f'(a)=0$ avec changement de signe de $f'$.
Plan d'étude d'une fonction : domaine de définition, dérivée et signe, tableau de variations, limites aux bornes et asymptotes éventuelles, tracé.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Intégration

À maîtriser :

Primitives usuelles : $\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\neq-1$), $\displaystyle\int\dfrac1x\,dx=\ln|x|+C$, $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$, $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
Primitive d'une composée : $\displaystyle\int u'(x)e^{u(x)}\,dx=e^{u(x)}+C$, $\displaystyle\int\dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx=\ln|u(x)|+C$, $\displaystyle\int u'(x)u(x)^n\,dx=\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}+C$.
Aire sous une courbe : si $f\geq0$ sur $[a,b]$, l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses vaut $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$.
Intégration par parties : pour $u,v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$.
Valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ; si $f$ est continue, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\mu$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Équations différentielles

À maîtriser :

Équation $y'+ay=b$ ($a\neq0$, $a,b$ constants réels) : solution générale $y(x)=Ce^{-ax}+\dfrac{b}{a}$, où $Ce^{-ax}$ est la solution générale de l'équation homogène $y'+ay=0$ et $\dfrac ba$ est la solution particulière constante.
La constante $C$ se détermine à l'aide d'une condition initiale $y(x_0)=y_0$ : c'est la dernière étape, jamais la première.
Équation $y''+\omega^2y=0$ ($\omega>0$) : solution générale $y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$, avec $A,B$ déterminées par deux conditions initiales $y(t_0)$ et $y'(t_0)$ ; forme équivalente $y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)$ avec $R=\sqrt{A^2+B^2}$.
Applications physiques : charge/décharge d'un condensateur (circuit RC, équation du premier ordre en $u(t)$ ou $q(t)$), oscillateur non amorti (masse-ressort, équation du second ordre en position).
Second membre non constant simple, cas de résonance : si le second membre a la même forme que la solution homogène (par exemple $b(x)=e^{-ax}$ pour $y'+ay=b(x)$), chercher une solution particulière de la forme $y_p(x)=\alpha x e^{-ax}$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Fonctions usuelles et trigonométrie

À maîtriser :

Logarithme et exponentielle : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ pour $a,b>0$, $e^{a+b}=e^ae^b$ ; dérivées $(\ln x)'=\dfrac1x$ sur $\mathbb R_+^*$ et $(e^x)'=e^x$ sur $\mathbb R$ ; croissances comparées $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ et $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.
Puissances : pour $x>0$ et $\alpha\in\mathbb R$, $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$, de dérivée $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.
Trigonométrie : valeurs remarquables ($\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$, $\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$...), addition $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, duplication $\cos(2a)=2\cos^2a-1$ ; équation $\cos x=a$ (avec $|a|\leq1$) : $x=\pm\arccos a+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
Réciproques circulaires : $\arcsin:[-1,1]\to\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$, $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$, $\arctan:\mathbb R\to\left]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right[$ ; dérivées $(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1,1[$, $(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$ sur $\mathbb R$.
Fonctions hyperboliques : $\mathrm{ch}\,x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$, $\mathrm{sh}\,x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$, $\mathrm{th}\,x=\dfrac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}$ ; relation $\mathrm{ch}^2x-\mathrm{sh}^2x=1$ ; dérivées $(\mathrm{ch})'=\mathrm{sh}$, $(\mathrm{sh})'=\mathrm{ch}$, $(\mathrm{th})'=1-\mathrm{th}^2=\dfrac1{\mathrm{ch}^2}$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Développements limités

À maîtriser :

Formule de Taylor-Young : si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$, alors $f(a+h)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)$ quand $h\to0$ : $f$ admet un DL d'ordre $n$ en $a$.
DL usuels en $0$ : $e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3)$, $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+o(x^3)$, $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+o(x^2)$, $\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)$, $\cos x=1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)$, $\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$.
Opérations : on peut sommer, multiplier et composer des DL de même ordre (en tronquant le résultat à cet ordre), à condition que la composition se fasse en $0$ (valeur intérieure nulle).
Position relative et tangente : si $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+c(x-a)^k+o((x-a)^k)$ avec $c\neq0$ premier coefficient non nul après le terme linéaire, la courbe est au-dessus de sa tangente si $c>0$, en dessous si $c<0$, au voisinage de $a$.
Équivalents et limites : le premier terme non nul d'un DL donne un équivalent ; pour lever une forme indéterminée en $a$, on développe chaque terme jusqu'à l'ordre nécessaire pour faire apparaître un terme non nul au numérateur et au dénominateur.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

35 exercices corrigés avec indice et rappel de cours, en accès libre.

Toutes les fiches de passage sup vers spé