Révisions d'Analyse, Passage PCSI vers PSI ou PC

Révisions d'Analyse en prépa PCSI : 39 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 9 chapitres de la fiche

Suites numériques

À maîtriser :

Le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge ; si elle n'est pas majorée, elle tend vers $+\infty$.
Le théorème des suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $u_n - v_n \to 0$, alors les deux convergent vers la même limite $\ell$, avec l'encadrement $u_n \le \ell \le v_n$.
L'étude d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : trouver un intervalle stable par $f$ contenant $u_0$ et les points fixes, comparer $u_n$ et $u_{n+1}$ via le signe de $f(x)-x$, et n'invoquer $f(\ell)=\ell$ qu'après avoir prouvé la convergence et la continuité de $f$.
La suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n+b$ ($a\neq1$) : le point fixe $\ell = \frac{b}{1-a}$ rend $(u_n-\ell)$ géométrique de raison $a$, donc $u_n = \ell + a^n(u_0-\ell)$.
La suite récurrente linéaire d'ordre 2 $u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n$ : l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ donne la forme générale des solutions, réelle ou complexe selon le signe du discriminant.
L'usage des suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ pour prouver une divergence (limites différentes) ou une convergence (mêmes limites suffit pour toute la suite).
L'encadrement (théorème des gendarmes) et la majoration $|u_n-\ell|\le v_n$ avec $v_n\to0$ pour obtenir une limite sans calculer $u_n$ explicitement.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Limites et continuité

À maîtriser :

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : $f$ continue sur $[a,b]$, tout réel entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteint ; sa version pratique, le corollaire de la bijection : $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, de réciproque continue et de même monotonie.
Le théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes (existence de $\max$ et $\min$, pas seulement de bornes sup/inf).
Les croissances comparées en $+\infty$ : pour $\alpha,\beta>0$, $\dfrac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha}\to0$, $\dfrac{x^\alpha}{e^{\beta x}}\to0$, et leurs déclinaisons en $0^+$ ou en suites ($n^\alpha/n! \to 0$, etc.).
La construction d'une fonction auxiliaire (différence, quotient, composée par $\ln$ ou $\exp$) pour se ramener à un TVI ou à une étude de signe plutôt que de manipuler une inégalité brute.
Le prolongement par continuité en un point : $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ où elle n'est pas définie, on pose $\tilde f(a) = \ell$ ; distinguer ce cas du cas où $f$ diverge en $a$.
L'usage de la dichotomie ou de l'encadrement pour localiser une solution donnée par le TVI, en particulier quand la fonction n'est pas explicitement inversible.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Dérivation, Rolle et formules de Taylor

À maîtriser :

Le théorème de Rolle : $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, $f(a)=f(b)$, alors il existe $c\in\,]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
Le théorème des accroissements finis (TAF) : sous les mêmes hypothèses de régularité, il existe $c\in\,]a,b[$ tel que $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$.
L'inégalité des accroissements finis (IAF) : si $|f'|\le K$ sur $[a,b]$, alors $|f(b)-f(a)| \le K|b-a|$, utile pour majorer un écart sans calcul explicite de $c$.
La construction de fonctions auxiliaires (multiplier par $e^{\lambda x}$, soustraire une droite ou un polynôme) pour appliquer Rolle à une conclusion qui n'est pas directement de la forme $g(a)=g(b)$.
La formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ en $a$, pour $f$ de classe $\mathcal C^n$ : $f(a+h) = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + h^n\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h)\to0$, l'outil de référence pour un développement limité local.
La formule de Taylor avec reste intégral, pour $f$ de classe $\mathcal C^{n+1}$ : $f(b) = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$, la seule qui donne une égalité exacte exploitable en majoration.
L'inégalité de Taylor-Lagrange : si $|f^{(n+1)}| \le M$ sur $[a,b]$, alors le reste de Taylor à l'ordre $n$ est majoré par $\dfrac{M|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Développements limités et comparaison asymptotique

À maîtriser :

Les DL usuels en $0$ à connaître par cœur : $e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+o(x^n)$, $\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x^k+o(x^n)$, $\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+o(x^n)$, $\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$, $\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$, $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)$.
Les opérations licites sur les DL à un même ordre : combinaison linéaire, produit (tronquer à l'ordre voulu), quotient (DL du numérateur et du dénominateur au même ordre, division suivant les puissances croissantes), mais pas de composition générale hors cas simples.
Le réflexe de ramener un DL en un point $a$ quelconque à un DL en $0$ via $h = x-a$, en étudiant $f(a+h)$.
La définition et le calcul d'un équivalent : $f(x) \sim g(x)$ signifie $f(x) = g(x)(1+o(1))$ ; en pratique, on lit l'équivalent sur le premier terme non nul du DL.
Les opérations licites sur les équivalents : produit, quotient, puissance, mais jamais somme (deux équivalents peuvent se compenser) ni composition par une fonction quelconque (seulement par $\exp$ après passage au $\ln$, avec précaution).
La factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l'ordre d'un DL avant de se lancer dans le calcul, en particulier pour une forme indéterminée $0/0$ ou $\infty-\infty$.
L'usage d'un DL pour déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente (signe du premier terme non nul après le terme d'ordre 1) et pour trouver une asymptote oblique en $\pm\infty$ via un DL en $\frac1x$.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Intégration sur un segment

À maîtriser :

Le lien primitive/intégrale : pour $f$ continue sur un intervalle $I$ contenant $x_0$, $x \mapsto \displaystyle\int_{x_0}^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $x_0$, et toute primitive lui diffère d'une constante.
L'intégration par parties (IPP), pour $u,v$ de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$ : $\displaystyle\int_a^b u'(t)v(t)\,dt = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\,dt$, à utiliser quand dériver l'un des facteurs simplifie l'intégrale (polynôme fois exponentielle, $\ln$, Arctan).
Le changement de variable, pour $\varphi$ de classe $\mathcal C^1$ de $[\alpha,\beta]$ dans $[a,b]$ : $\displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$, avec changement systématique des bornes.
Les sommes de Riemann : pour $f$ continue sur $[a,b]$, $\dfrac{b-a}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt$, l'outil pour transformer une limite de somme en intégrale (et réciproquement, une intégrale en calcul de limite de somme).
La positivité et la croissance de l'intégrale sur $[a,b]$ avec $a\le b$ : $f\le g$ sur $[a,b]$ implique $\int_a^b f \le \int_a^b g$, et l'inégalité $\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|$.
La linéarisation trigonométrique (via les formules d'Euler) ou l'usage de la parité/périodicité pour calculer une primitive de $\cos^p\sin^q$ ou simplifier les bornes d'une intégrale.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Équations différentielles linéaires

À maîtriser :

L'équation linéaire du premier ordre $y' + a(x)y = b(x)$ sur un intervalle $I$ : la solution générale de l'équation homogène associée $y'+a(x)y=0$ est $y(x) = Ce^{-A(x)}$, où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.
Le principe de structure : la solution générale de $y'+a(x)y=b(x)$ s'obtient en ajoutant à une solution particulière la solution générale de l'équation homogène.
La méthode de variation de la constante quand aucune solution particulière évidente n'apparaît : chercher $y(x) = C(x)e^{-A(x)}$ et injecter dans l'équation complète pour trouver $C'(x)$, donc $C(x)$ par primitivation.
L'équation linéaire du second ordre à coefficients constants $y''+ay'+by=f(x)$ : l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ donne la forme de la solution homogène selon le signe du discriminant (deux exponentielles réelles, une exponentielle-affine en cas de racine double, ou $e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x))$ pour des racines complexes $\alpha\pm i\beta$).
La recherche d'une solution particulière pour un second membre $f(x) = P(x)e^{\lambda x}$ ($P$ polynôme) : chercher $y_p(x) = Q(x)e^{\lambda x}$ avec $\deg Q = \deg P$, sauf résonance ($\lambda$ racine de l'équation caractéristique) où l'on multiplie par $x$ (racine simple) ou $x^2$ (racine double).
Le principe de superposition : si $y_1$ est solution pour le second membre $f_1$ et $y_2$ pour $f_2$, alors $y_1+y_2$ est solution pour $f_1+f_2$, utile quand le second membre est une somme.
La détermination des constantes d'intégration à partir des conditions initiales, toujours en dernière étape, une fois la solution générale complète écrite.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Séries numériques

À maîtriser :

Distinguer suite et série : $(u_n)$ est un objet, $\sum u_n$ en est un autre, défini par la suite des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$.
Convergence d'une série : $\sum u_n$ converge si et seulement si $(S_N)$ admet une limite finie ; sinon la série diverge.
Condition nécessaire de convergence : $\sum u_n$ converge $\Rightarrow$ $u_n \to 0$ (divergence grossière si $u_n \not\to 0$), avec la réciproque fausse (la série harmonique la met en défaut).
Série géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et alors $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.
Série télescopique : $\sum (u_{n+1}-u_n)$ est de même nature que $(u_n)$, car $S_N = u_{N+1}-u_0$.
Séries à termes positifs : convergence si et seulement si $(S_N)$ est majorée ; comparaison par majoration ($0 \le u_n \le v_n$) ou par équivalent ($u_n \sim v_n$, $v_n$ positive) pour se ramener à une série de référence.
Série de Riemann (admise) : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$, l'étalon de comparaison du chapitre.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Nombres complexes et trigonométrie

À maîtriser :

Un complexe non nul $z$ s'écrit sous trois formes équivalentes : algébrique $z = a+ib$, trigonométrique $z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$, exponentielle $z = re^{i\theta}$, où $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ est le module et $\theta = \arg(z)$ l'argument, défini modulo $2\pi$.
Le module et l'argument se comportent bien avec le produit et le quotient : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$, $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1)+\arg(z_2)\ [2\pi]$, et $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$, $\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1)-\arg(z_2)\ [2\pi]$ pour $z_2 \neq 0$.
Les formules d'Euler $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ servent à linéariser (développer $\cos^n\theta$ en somme de $\cos(k\theta)$) ou à factoriser par l'angle moitié, par exemple $1+e^{i\theta} = 2\cos(\theta/2)\,e^{i\theta/2}$ ; la formule de Moivre $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ s'en déduit.
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont $\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k=0,\dots,n-1\}$, réparties régulièrement sur le cercle unité, de somme nulle dès que $n\ge2$ ; les racines $n$-ièmes d'un complexe non nul $z_0 = r_0 e^{i\theta_0}$ quelconque sont $\sqrt[n]{r_0}\,e^{i(\theta_0+2k\pi)/n}$ pour $k=0,\dots,n-1$.
Une équation du second degré $az^2+bz+c=0$ à coefficients complexes ($a\neq0$) se résout comme dans $\mathbb{R}$ : on calcule $\Delta = b^2-4ac \in \mathbb{C}$, on choisit $\delta$ une racine carrée complexe de $\Delta$ (c'est-à-dire $\delta^2=\Delta$), et les solutions sont $z = \dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ ; géométriquement, $z\mapsto az+b$ est une similitude directe de rapport $|a|$ et d'angle $\arg(a)$, et $z\mapsto e^{i\theta}z$ une rotation d'angle $\theta$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

Fonctions de deux variables

À maîtriser :

Les dérivées partielles de $f$ en $(a,b)$ sont $\partial_x f(a,b) = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ (dérivée de la fonction partielle $x\mapsto f(x,b)$ en $a$) et $\partial_y f(a,b)$ de façon symétrique ; si $f$ est de classe $\mathcal C^1$, ces deux dérivées existent et sont continues sur le domaine.
Le gradient $\nabla f(a,b) = \big(\partial_x f(a,b),\,\partial_y f(a,b)\big)$ est le vecteur qui indique la direction de plus forte croissance de $f$ ; en physique, un champ de force conservatif dérive d'un potentiel $V$ par $\vec F=-\nabla V$.
Pour $f$ de classe $\mathcal C^1$ au voisinage de $(a,b)$, le développement limité d'ordre 1 s'écrit $f(a+h,b+k) = f(a,b)+\partial_x f(a,b)\,h+\partial_y f(a,b)\,k+o(\|(h,k)\|)$ ; le plan tangent à la surface $z=f(x,y)$ au point $(a,b,f(a,b))$ a pour équation $z = f(a,b)+\partial_x f(a,b)(x-a)+\partial_y f(a,b)(y-b)$.
Règle de la chaîne : si $x,y$ sont dérivables en $t$ et $f$ de classe $\mathcal C^1$, la fonction $g(t)=f\big(x(t),y(t)\big)$ est dérivable et $g'(t) = \partial_x f\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)+\partial_y f\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t) = \nabla f\big(x(t),y(t)\big)\cdot\big(x'(t),y'(t)\big)$.
Un point critique de $f$ est un point où $\nabla f=(0,0)$ ; c'est une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour qu'un point intérieur soit un extremum local d'une fonction $\mathcal C^1$ sur un ouvert : sans hessienne, on détermine la nature d'un point critique par étude directe du signe de $f(a+h,b+k)-f(a,b)$.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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