Révisions d'Analyse, Passage ECG 1 vers ECG 2

Révisions d'Analyse en prépa ECG (ECG 1 vers ECG 2) : 24 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 6 chapitres de la fiche

Sommes, produits et coefficients binomiaux

À maîtriser :

Les trois sommes usuelles à connaître par cœur : $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, et la somme géométrique $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q \neq 1$ (et $n+1$ si $q=1$).
Le télescopage : $\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_0$. C'est le premier réflexe devant une somme où le terme général se décompose en différence.
Les coefficients binomiaux $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, leur symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, et la formule de Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.
La formule du binôme de Newton $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$, y compris ses cas particuliers $a=b=1$ et $a=1, b=-1$.
Le changement d'indice dans une somme : réécrire $\sum_{k=0}^{n} u_k$ en posant $j = k+1$ ou $j = n-k$ pour faire apparaître une forme connue.
Une somme double sur un domaine triangulaire $\sum_{1 \le i \le j \le n}$ se sépare ou s'interchange : fixer d'abord la variable extérieure, sommer ensuite l'intérieure sur l'intervalle qu'elle impose.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Suites numériques

À maîtriser :

Le théorème de la limite monotone : une suite croissante majorée converge, une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (et symétriquement pour une suite décroissante).
Les suites arithmético-géométriques $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ : chercher le point fixe $\ell = a\ell + b$, poser $v_n = u_n - \ell$, et montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
Les suites récurrentes linéaires d'ordre deux $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ : former l'équation caractéristique $r^2 = ar+b$ et distinguer discriminant nul, positif, négatif.
Les suites $u_{n+1} = f(u_n)$ : chercher les points fixes de $f$ (solutions de $f(x)=x$), établir un intervalle stable contenant $u_0$, puis étudier le signe de $f(x)-x$ pour la monotonie.
La majoration et la minoration par récurrence : rédiger l'hérédité en toute rigueur, avec l'hypothèse de récurrence explicitement rappelée avant de l'utiliser.
La caractérisation séquentielle des limites : si $u_n \to \ell$, toute suite extraite converge vers $\ell$ ; par contraposée, deux suites extraites de limites différentes prouvent que $(u_n)$ diverge.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

À maîtriser :

Les opérations sur les limites et les formes indéterminées $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ : les repérer avant tout calcul, jamais les manipuler comme des nombres.
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a,b]$, elle prend toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$. Rédiger systématiquement les trois hypothèses : continuité, intervalle, encadrement de la valeur visée.
Le théorème de la bijection (TVI strictement monotone) : si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, ce qui donne l'existence ET l'unicité d'une solution à $f(x)=k$.
La dérivabilité en un point via le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, et le lien dérivabilité $\implies$ continuité (la réciproque est fausse : penser à $x \mapsto |x|$ en $0$).
Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis (TAF) : hypothèses exactes (continuité sur $[a,b]$, dérivabilité sur $]a,b[$) et conclusion sur l'existence d'un $c$, jamais son unicité ni sa valeur.
La limite d'une composée $g \circ f$ : si $f(x) \to \ell$ quand $x \to a$ et $g(y) \to L$ quand $y \to \ell$, alors $g(f(x)) \to L$ quand $x \to a$.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Étude de fonctions : convexité, DL, croissances comparées

À maîtriser :

La convexité par le signe de $f''$ : $f$ convexe sur $I$ si $f'' \ge 0$ sur $I$, concave si $f'' \le 0$. La courbe est alors au-dessus (resp. en dessous) de chacune de ses tangentes.
L'inégalité de convexité la plus utile en ECG : pour $f$ convexe, $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$, et sa version générale (inégalité de Jensen à deux points, hors programme dans sa forme probabiliste mais l'inégalité géométrique elle-même est exigible).
Les développements limités usuels à l'ordre 2 ou 3 en $0$ : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)$.
Les croissances comparées en $+\infty$ : pour tout $\alpha > 0$, $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$, $\dfrac{x^\alpha}{e^x} \to 0$, et leurs variantes en $0$ ou en $-\infty$ (par exemple $x \ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$).
Les propriétés de $\exp$ et $\ln$ : $\exp$ est sa propre dérivée et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, $\ln$ est la réciproque de $\exp$ sur $\,]0,+\infty[$, et $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour $a,b>0$.
La recherche d'asymptotes : asymptote horizontale si $f(x) \to \ell$ fini, asymptote verticale si $f(x) \to \pm\infty$ en un point, asymptote oblique $y=ax+b$ si $f(x)-(ax+b) \to 0$, avec $a = \lim \frac{f(x)}{x}$.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Intégration sur un segment

À maîtriser :

Les primitives usuelles : $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $\int \frac1x\,dx = \ln|x|+C$, $\int e^x\,dx = e^x+C$, et leurs composées immédiates $\int u'e^u\,dx = e^u+C$, $\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u|+C$.
L'intégration par parties : $\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$, avec un choix de $u$ et $v'$ qui simplifie strictement l'intégrale restante.
Le changement de variable affine $t = \alpha x + \beta$ : $\displaystyle \int_a^b f(\alpha x+\beta)\,dx = \frac{1}{\alpha}\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(t)\,dt$, avec changement des bornes.
La positivité et la croissance de l'intégrale : si $f \ge 0$ sur $[a,b]$ alors $\int_a^b f \ge 0$ ; si $f \le g$ sur $[a,b]$ alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$ (utile pour encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer).
La valeur moyenne d'une fonction sur $[a,b]$ : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$, à interpréter comme la hauteur du rectangle de même aire que sous la courbe.
L'encadrement d'une somme par une intégrale : pour $f$ monotone, comparer $\int_k^{k+1} f(t)\,dt$ à $f(k)$ et $f(k+1)$, puis sommer pour encadrer $\sum_{k=1}^n f(k)$ par deux intégrales.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Séries numériques

À maîtriser :

La définition : la série $\sum u_n$ converge si la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ converge, et alors $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim_{n\to+\infty} S_n$.
La condition nécessaire de convergence : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$. Sa contraposée est l'outil de divergence le plus rapide : si $u_n \not\to 0$, la série diverge grossièrement.
La série géométrique $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.
La série exponentielle $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$ pour tout réel $x$, admise et directement utilisable.
La convergence des séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ : convergente si $\alpha > 1$, divergente si $\alpha \le 1$ (résultat admis en ECG1, à citer sans redémonstration).
Le critère de comparaison pour les séries à termes positifs : si $0 \le u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\sum v_n$ convergente $\implies \sum u_n$ convergente, et par contraposée $\sum u_n$ divergente $\implies \sum v_n$ divergente.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

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