Révisions d'Algèbre, Passage TSI 1 vers TSI 2
Révisions d'Algèbre en prépa TSI (TSI 1 vers TSI 2) : 35 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 7 chapitres de la fiche
Nombres complexes
À maîtriser :
- Trois formes d'un complexe non nul : algébrique $z = a + ib$, trigonométrique $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, exponentielle $z = re^{i\theta}$
- Module $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}$ et argument $\theta$ défini par $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$, $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$
- Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
- Équation du second degré $az^2+bz+c=0$ à coefficients réels, $\Delta = b^2-4ac$ : si $\Delta < 0$, les racines sont $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, complexes conjuguées
- Racines $n$-ièmes d'un complexe $re^{i\alpha}$ : $z_k = r^{1/n} e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}$ pour $k = 0, \dots, n-1$
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Systèmes linéaires
À maîtriser :
- Système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues, écriture matricielle $AX=B$ avec $A$ la matrice des coefficients
- Opérations élémentaires sur les lignes : $L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$, échange $L_i \leftrightarrow L_j$, $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$
- Méthode du pivot de Gauss : échelonner le système par opérations élémentaires jusqu'à obtenir un système triangulaire
- Nombre de solutions selon le rang $r$ comparé au nombre d'inconnues $p$ : $r=p$ (solution unique), $r<p$ (infinité de solutions à $p-r$ paramètres), système incompatible (aucune solution)
- Interprétation géométrique : intersection de droites dans $\mathbb{R}^2$, de plans dans $\mathbb{R}^3$
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Calcul matriciel
À maîtriser :
- Somme, produit par un scalaire, produit matriciel $AB$ : le produit n'est en général pas commutatif, $AB \neq BA$
- Puissances $A^n$ : se calculent par récurrence, ou par binôme de Newton $(A+B)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^k B^{n-k}$ si $AB=BA$
- Inverse d'une matrice $2\times2$ : si $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ et $\det A = ad-bc \neq 0$, alors $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$
- Inverse par la méthode du pivot : résoudre $AX=I$ en échelonnant $(A\,|\,I)$ jusqu'à obtenir $(I\,|\,A^{-1})$
- Lien matrices et systèmes linéaires : $AX=B$ a une solution unique ssi $A$ est inversible, alors $X=A^{-1}B$
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Polynômes
À maîtriser :
- Degré d'un polynôme : $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ et $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$
- Racine d'un polynôme : $a$ est racine de $P$ ssi $P(a)=0$, et alors $(X-a)$ divise $P$
- Division euclidienne : pour $B\neq0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $P=BQ+R$ avec $\deg R<\deg B$
- Recherche d'une racine évidente pour amorcer une factorisation, puis poursuite par division euclidienne
- Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : produit de facteurs $(X-a)$ (racines réelles) et de trinômes $aX^2+bX+c$ à discriminant strictement négatif (irréductibles sur $\mathbb{R}$)
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Espaces vectoriels de dimension finie
À maîtriser :
- Sous-espace vectoriel, caractérisation : $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $F \neq \emptyset$ (ou $0_E \in F$) et $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall (x,y) \in F^2, \forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2, \lambda x + \mu y \in F$.
- Combinaison linéaire, famille libre, famille liée : une combinaison linéaire de $(v_1,\dots,v_p)$ est $\sum \lambda_i v_i$ ; la famille est libre si $\sum \lambda_i v_i = 0 \Rightarrow$ tous les $\lambda_i$ sont nuls, liée sinon.
- Famille génératrice, base, dimension : $(v_1,\dots,v_p)$ est génératrice de $E$ si $\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)=E$ ; une base est libre et génératrice ; toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal $n = \dim E$.
- Rang d'une famille de vecteurs : $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p) = \dim \mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$, calculable comme le rang de la matrice dont les colonnes sont les $v_i$ ; on a toujours $\mathrm{rg} \leqslant \min(p,n)$, avec égalité à $p$ si et seulement si la famille est libre.
- Sous-espaces engendrés et supplémentaires : $\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des $v_i$ (droites de dimension 1, plans de dimension 2 dans $\mathbb{R}^3$) ; $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ($E = F \oplus G$) si $F \cap G = \{0\}$ et $F+G=E$.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Applications linéaires et matrices
À maîtriser :
- Définition : $f:E \to F$ est linéaire si $\forall (x,y)\in E^2, \forall (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\; f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$ ; un endomorphisme est une application linéaire de $E$ dans lui-même.
- Noyau et image : $\ker f = \{x \in E : f(x)=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ; $\mathrm{Im}\,f = f(E)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ ; $f$ est injective si et seulement si $\ker f=\{0\}$.
- Rang et théorème du rang : $\mathrm{rg}(f) = \dim \mathrm{Im}\,f$ ; si $E$ est de dimension finie, $\dim E = \dim \ker f + \mathrm{rg}(f)$.
- Matrice dans des bases, changement de base : la matrice de $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ (départ) et $\mathcal{B}'$ (arrivée) a pour colonnes les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal{B}$ dans $\mathcal{B}'$ ; un changement de base transforme la matrice $A$ d'un endomorphisme en $A' = P^{-1}AP$, où $P$ est la matrice de passage.
- Projecteurs et symétries : $p$ est un projecteur si $p^2=p$ (alors $E=\ker p \oplus \mathrm{Im}\,p$) ; $s$ est une symétrie si $s^2=\mathrm{id}_E$, liée au projecteur $p$ par $s=2p-\mathrm{id}_E$.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Géométrie dans le plan et l'espace
À maîtriser :
- Produit scalaire : pour $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$ de $\mathbb{R}^3$, $u\cdot v = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ ; norme $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$ ; angle $\theta$ entre $u,v$ non nuls donné par $\cos\theta = \dfrac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}$ ; orthogonalité : $u \perp v \iff u\cdot v=0$.
- Produit vectoriel : $u \wedge v = (y_1z_2-z_1y_2,\; z_1x_2-x_1z_2,\; x_1y_2-y_1x_2)$ ; il est orthogonal à $u$ et à $v$, et $\|u\wedge v\|$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ ; il dirige la normale à un plan contenant $u$ et $v$.
- Produit mixte et volume : $[u,v,w]=u\cdot(v\wedge w)$ ; $|[u,v,w]|$ est le volume du parallélépipède construit sur $u,v,w$, nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires.
- Équations de droites et de plans : une droite est définie par un point $A$ et un vecteur directeur $u$, forme paramétrique $M=A+tu$ ; un plan est défini par un point et un vecteur normal $n=(a,b,c)$, équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ (ou par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires en forme paramétrique).
- Distance et projection orthogonale : distance d'un point $M_0(x_0,y_0,z_0)$ au plan $ax+by+cz+d=0$, $d(M_0,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ; distance à une droite via la projection orthogonale du point sur la droite, qui réalise cette distance minimale.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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