Révisions d'Algèbre, Passage PCSI vers PSI ou PC

Révisions d'Algèbre en prépa PCSI : 25 exercices corrigés avec rappels de cours, de la sup à la spé. Gratuit sur MonProf+.

Les 6 chapitres de la fiche

Polynômes

À maîtriser :

Degré d'une somme et d'un produit : $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ toujours, mais $\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)$ avec égalité dès que $\deg P\neq\deg Q$.
Caractériser la multiplicité d'une racine par les dérivées successives : $a$ est racine de multiplicité $k$ de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a)\neq0$. C'est presque toujours plus rapide qu'une division euclidienne répétée.
Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ est scindé, c'est-à-dire produit de facteurs de degré $1$. Conséquence directe : un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ de degré $n$ a exactement $n$ racines comptées avec multiplicité.
Dans $\mathbb{R}[X]$, les racines complexes non réelles vont par paires conjuguées de même multiplicité : la factorisation irréductible ne comporte que des facteurs de degré $1$ (racines réelles) et de degré $2$ à discriminant strictement négatif.
Division euclidienne $A=BQ+R$ avec $\deg R<\deg B$ : c'est l'outil de fond pour tout calcul de reste, de pgcd, ou pour prouver qu'un polynôme en divise un autre sans le factoriser explicitement.
Algorithme d'Euclide et relation de Bézout : $\mathrm{pgcd}(A,B)=1$ si et seulement s'il existe $U,V$ tels que $AU+BV=1$. C'est le critère à invoquer pour prouver que deux polynômes sont premiers entre eux.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Espaces vectoriels

À maîtriser :

Pour montrer qu'une partie $F$ est un sous-espace vectoriel : $0\in F$, puis $F$ stable par combinaison linéaire ($u,v\in F,\ \lambda,\mu\in\mathbb{K}\Rightarrow \lambda u+\mu v\in F$). Un seul bloc de vérification suffit, inutile de séparer stabilité par somme et par produit externe.
Une famille est libre si toute combinaison linéaire nulle de ses vecteurs a tous ses coefficients nuls. Sur des polynômes ou des fonctions, regarder les degrés échelonnés ou évaluer en des points bien choisis règle souvent la question sans calcul long.
En dimension finie $n$ : une famille de $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice, jamais besoin de vérifier les deux. C'est le théorème de la base incomplète qui autorise ce raccourci.
Somme directe $F\oplus G$ : prouver $F\cap G=\{0\}$ et $F+G=E$, ou bien exhiber directement, pour tout $x\in E$, l'unique décomposition $x=f+g$ avec $f\in F,\ g\in G$.
Formule de Grassmann en dimension finie : $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$. Elle remplace souvent un calcul de base explicite quand seule la dimension importe.
Un supplémentaire d'un sous-espace n'est jamais unique (sauf le sous-espace nul ou l'espace entier) : parler du supplémentaire sans préciser lequel est une faute de rédaction qui coûte cher en colle.

4 exercices corrigés dans ce chapitre.

Applications linéaires

À maîtriser :

Noyau et image : $\ker f=\{x\in E\ :\ f(x)=0\}$ est un sous-espace de $E$, $\mathrm{Im}\,f=\{f(x)\ :\ x\in E\}$ un sous-espace de $F$. $f$ injective $\iff \ker f=\{0\}$, $f$ surjective $\iff \mathrm{Im}\,f=F$.
Théorème du rang : $\dim E=\dim\ker f+\mathrm{rg}\,f$ en dimension finie. C'est le théorème le plus utilisé du chapitre, souvent pour obtenir une dimension sans construire de base.
En dimension finie égale, $f:E\to F$ avec $\dim E=\dim F$ : injective, surjective et bijective sont équivalentes. Une seule des trois suffit à conclure aux deux autres.
Pour déterminer $\ker f$ : résoudre $f(x)=0$ comme un système ou une équation, exhiber une base des solutions, et vérifier la dimension par le théorème du rang si possible.
Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ : pour la définir ou la caractériser, il suffit de donner ces images.
Composée et rang : $\mathrm{rg}(g\circ f)\le\min(\mathrm{rg}\,f,\ \mathrm{rg}\,g)$. Utile pour majorer un rang sans calcul explicite.

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Matrices et rang

À maîtriser :

Produit matriciel : $(AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$, non commutatif en général. Vérifie systématiquement la compatibilité des formats avant de te lancer dans un calcul.
Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\mathrm{rg}\,A=n$ (son ordre), si et seulement si son endomorphisme canoniquement associé est bijectif : les trois formulations sont interchangeables selon ce que l'énoncé donne à voir.
Le rang d'une matrice ne change pas par opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes (méthode du pivot de Gauss) : c'est l'outil de calcul de référence, à préférer à un calcul de déterminant dès que le format dépasse $3\times3$.
Matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}$ vers la base $\mathcal{B}'$ : elle est inversible, et pour un vecteur $x$, $X=P X'$ relie les coordonnées dans l'ancienne base $X$ à celles dans la nouvelle base $X'$. Attention au sens : $P$ contient en colonnes les vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimés dans $\mathcal{B}$.
Effet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme : si $A$ représente $f$ dans $\mathcal{B}$ et $A'$ dans $\mathcal{B}'$, alors $A'=P^{-1}AP$ où $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. Deux matrices liées ainsi sont dites semblables.
Pour inverser une matrice $2\times2$ : $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ dès que $ad-bc\neq0$. Pour un format plus grand, le pivot de Gauss sur $(A\mid I)$ reste la méthode la plus sûre.

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Systèmes et déterminants

À maîtriser :

Un système linéaire $AX=B$ compatible admet pour ensemble de solutions $x_0+\ker A$ où $x_0$ est une solution particulière : la structure est toujours affine, jamais un point isolé sauf si $\ker A=\{0\}$.
$AX=B$ est compatible si et seulement si $B\in\mathrm{Im}\,A$. Si $A$ est carrée inversible, le système a une unique solution $X=A^{-1}B$ pour tout second membre $B$.
Déterminant d'ordre $2$ : $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$. Déterminant d'ordre $3$ par la règle de Sarrus, ou par développement selon une ligne ou une colonne pour un ordre supérieur.
$A$ est inversible si et seulement si $\det A\neq0$. Le déterminant est multiplicatif : $\det(AB)=\det A\times\det B$, et $\det(A^{-1})=1/\det A$.
Une famille de $n$ vecteurs en dimension $n$ est une base si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées dans une base de référence est non nul : c'est souvent le test le plus rapide pour une famille de taille égale à la dimension.
Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne (ou chaque ligne) séparément, et change de signe si on échange deux colonnes (ou deux lignes) : ces propriétés permettent de simplifier un calcul avant de développer.

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Espaces préhilbertiens réels

À maîtriser :

Pour prouver qu'une forme est un produit scalaire, l'essentiel du travail porte sur la positivité et le caractère défini ; bilinéarité et symétrie se vérifient en général sans effort.
Cauchy-Schwarz : $|\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|$, égalité si et seulement si $x,y$ colinéaires. Réflexe numéro un pour majorer un produit scalaire, une somme ou une intégrale de produit.
L'identité $\|x+y\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle$ (formule de polarisation) : elle relie norme et produit scalaire dans les deux sens.
$X^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$ pour toute partie $X$, même quelconque.
Une famille orthogonale sans vecteur nul est automatiquement libre : c'est souvent la preuve la plus rapide qu'une famille est libre.
Gram-Schmidt : à l'étape $k$, on retranche à $v_k$ ses projections sur $e_1,\dots,e_{k-1}$ déjà construits, puis on normalise le résultat.
$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$ : la distance d'un point à un sous-espace de dimension finie se calcule toujours via son projeté orthogonal $p_F(x)=\sum_k\langle x,e_k\rangle e_k$, jamais en minimisant à la main.

5 exercices corrigés dans ce chapitre.

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