Révisions d'Algèbre, Passage ECG 1 vers ECG 2
Révisions d'Algèbre en prépa ECG (ECG 1 vers ECG 2) : 20 exercices corrigés avec rappels de cours, du programme de sup à celui de spé. Gratuit sur MonProf+.
Les 4 chapitres de la fiche
Calcul matriciel : opérations, puissances, inversibilité
À maîtriser :
- Le produit matriciel $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ : associatif, distributif par rapport à l'addition, mais non commutatif en général, $AB \neq BA$ le plus souvent.
- La transposée $(AB)^T = B^T A^T$ (l'ordre s'inverse) et $(A^T)^T = A$ ; une matrice $A$ est symétrique quand $A^T = A$.
- Les matrices diagonales et triangulaires sont stables par produit et par somme : le produit de deux triangulaires supérieures reste triangulaire supérieure, et la diagonale du produit est le produit terme à terme des diagonales.
- La puissance d'une matrice par récurrence : quand aucune formule ne saute aux yeux, on calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture $A^n$, puis on prouve la conjecture par récurrence, avec initialisation, hérédité et conclusion écrites.
- La puissance par le binôme de Newton quand $A = D + N$ avec $DN = ND$ (les deux matrices commutent) : $A^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^k N^{n-k}$, la formule du binôme s'applique aux matrices exactement comme aux réels dès que les deux facteurs commutent.
- La nilpotence : $N$ est nilpotente s'il existe $p$ tel que $N^p = 0$. Elle tronque toute somme faisant intervenir des puissances de $N$, et permet d'inverser $I + N$ via la somme géométrique finie $(I+N)(I - N + N^2 - \cdots \pm N^{p-1}) = I$.
- L'inversibilité : $A$ carrée est inversible si et seulement si son rang est maximal (si et seulement si $\det A \neq 0$ pour une matrice $2\times 2$ ou $3\times 3$). Le calcul de l'inverse se mène par pivot de Gauss-Jordan sur $[A \mid I]$ jusqu'à obtenir $[I \mid A^{-1}]$ ; chaque étape du pivot correspond à la multiplication par une matrice élémentaire (échange, dilatation ou transvection de lignes).
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Systèmes linéaires : pivot, rang, systèmes de Cramer
À maîtriser :
- Le pivot de Gauss : algorithme systématique qui échelonne un système par combinaisons de lignes, jusqu'à ce que chaque équation restante porte sur une inconnue de moins que la précédente.
- Le rang d'un système, ou de la matrice $A$ qui lui est associée, est le nombre d'équations non triviales (de pivots) obtenues après échelonnement ; il ne dépend pas de la méthode utilisée pour y parvenir.
- Un système de Cramer est un système carré ($n$ équations, $n$ inconnues) dont la matrice est inversible : il admet alors une unique solution, pour tout second membre.
- L'ensemble des solutions d'un système homogène $AX=0$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des inconnues, de dimension $n - \mathrm{rg}(A)$ où $n$ est le nombre d'inconnues.
- Quand un système $AX=b$ (avec $b \neq 0$) est compatible, l'ensemble de ses solutions est le translaté, par une solution particulière, de l'ensemble des solutions du système homogène associé $AX=0$.
- Après échelonnement, le rang se lit comme le nombre d'inconnues principales ; les inconnues restantes deviennent des paramètres libres qui décrivent toutes les solutions.
- Pour un système carré, l'équivalence à retenir : matrice inversible $\iff$ rang égal au nombre d'inconnues $\iff$ solution unique pour tout second membre $\iff$ le seul vecteur solution du système homogène associé est le vecteur nul.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Espaces vectoriels : sous-espaces, familles, dimension
À maîtriser :
- Les espaces vectoriels de référence du programme : $\mathbb{R}^n$, les espaces de matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, de polynômes $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{R}_n[X]$, de suites réelles, et de fonctions. Les mêmes réflexes de calcul s'y appliquent tous.
- Le critère de sous-espace vectoriel : $F \subset E$ est un sev si $F$ est non vide (en général on vérifie $0 \in F$) et stable par combinaison linéaire, $\forall (u,v) \in F^2, \forall (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2,\ \alpha u + \beta v \in F$.
- Une famille $(e_1,\dots,e_p)$ est libre quand $\sum_{i=1}^p \lambda_i e_i = 0 \Rightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_p=0$ ; elle est génératrice quand tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire des $e_i$.
- Une base est une famille à la fois libre et génératrice ; sa cardinalité, la dimension de l'espace, ne dépend pas du choix de la base.
- Le sous-espace engendré $\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_p)$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant ces vecteurs : c'est exactement l'ensemble de leurs combinaisons linéaires.
- La somme $F+G = \{u+v,\ u\in F, v\in G\}$ est directe, notée $F \oplus G$, quand $F \cap G = \{0\}$ : alors $\dim(F\oplus G) = \dim F + \dim G$ et tout vecteur de $F\oplus G$ se décompose de façon unique en somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$.
- La formule de Grassmann, valable même sans somme directe : $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F\cap G)$.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
Applications linéaires : noyau, image, matrices
À maîtriser :
- Définition : $f : E \to F$ est linéaire si $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ pour tous $u,v \in E$ et $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$.
- Le noyau $\ker f = \{u \in E,\ f(u)=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ; $f$ est injective si et seulement si $\ker f = \{0\}$.
- L'image $\mathrm{Im}\,f = \{f(u),\ u \in E\}$ est un sous-espace vectoriel de $F$ ; $f$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}\,f = F$.
- Le théorème du rang : si $E$ est de dimension finie, $\dim E = \dim(\ker f) + \mathrm{rg}(f)$, où $\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}\,f)$.
- La matrice d'une application linéaire $f$ dans des bases données $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et $\mathcal{B}'$ de $F$ : la colonne $j$ contient les coordonnées de $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}'$.
- La composition d'applications linéaires correspond au produit de leurs matrices dans des bases cohérentes : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}(g \circ f) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}(g) \times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$.
- Le changement de base pour un endomorphisme (résultat admis en ECG1) : si $P$ est la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle, la matrice de $f$ dans la nouvelle base est $A' = P^{-1}AP$, où $A$ est la matrice de $f$ dans l'ancienne base.
5 exercices corrigés dans ce chapitre.
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