Vecteur
Maths Seconde
Définition
Un vecteur $\vec{u}$ est un objet mathématique caractérisé par trois données : une direction, un sens et une longueur (appelée norme, notée $\lVert\vec{u}\rVert$). On le représente par une flèche : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ va du point $A$ (origine) vers le point $B$ (extrémité). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme ; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut alors à dire que $ABDC$ est un parallélogramme.
Formule
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \qquad \lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,6)$. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et sa norme.
Solution
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent en faisant « extrémité moins origine » :
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$
On calcule ensuite la norme à l'aide du théorème de Pythagore :
$$\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
Donc :
$$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \lVert\overrightarrow{AB}\rVert=5}$$
Erreurs classiques
- Calculer les coordonnées dans le mauvais sens : on fait $x_B-x_A$ (extrémité moins origine), pas l'inverse.
- Confondre le vecteur (direction + sens + norme) avec un simple point ou une distance.
Pour aller plus loin : le chapitre « Géométrie repérée : vecteurs et droites » (cours et exercices corrigés).