Variable aléatoire
Maths Première
Définition
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur $x_i$ possible, la probabilité $P(X = x_i)$. La somme de toutes ces probabilités vaut toujours $1$.
Formule
$$\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$$
Exemple corrigé
Énoncé
On lance deux pièces équilibrées et on note $X$ le nombre de « Pile » obtenus. Donner la loi de probabilité de $X$.
Solution
Les issues équiprobables sont $\{PP,\ PF,\ FP,\ FF\}$, chacune de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
La variable $X$ peut prendre les valeurs $0$, $1$ et $2$ :
- $X = 0$ correspond à $FF$, donc $P(X=0) = \dfrac{1}{4}$.
- $X = 1$ correspond à $PF$ ou $FP$, donc $P(X=1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
- $X = 2$ correspond à $PP$, donc $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$.
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
Vérification : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1$.
$$\boxed{P(X=0)=\tfrac{1}{4},\quad P(X=1)=\tfrac{1}{2},\quad P(X=2)=\tfrac{1}{4}}$$
Erreurs classiques
- Confondre la variable aléatoire $X$ (la fonction) avec ses valeurs $x_i$ (les nombres réels qu'elle prend).
- Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut $1$, ou compter une issue plusieurs fois.
Pour aller plus loin : le chapitre « Variables aléatoires réelles » (cours et exercices corrigés).