Valeur absolue
Maths Seconde
Définition
La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite graduée ; elle est donc toujours positive ou nulle. Si $x \geqslant 0$, alors $|x| = x$ ; si $x < 0$, alors $|x| = -x$. Plus généralement, $|a - b|$ représente la distance entre les nombres $a$ et $b$.
Formule
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \qquad |a - b| = \text{distance}(a\,;b)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Calculer $|-7|$, $|3 - 8|$, puis résoudre l'équation $|x - 2| = 5$.
Solution
Calculs de valeurs absolues.
$|-7| = 7$ car $-7 < 0$ donc $|-7| = -(-7) = 7$.
$|3 - 8| = |-5| = 5$.
Résolution de $|x - 2| = 5$.
Cette équation signifie que la distance entre $x$ et $2$ vaut $5$. Il y a donc deux solutions, situées de part et d'autre de $2$ :
$$x - 2 = 5 \quad \text{ou} \quad x - 2 = -5$$
$$x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -3$$
Vérification : $|7 - 2| = |5| = 5$ et $|-3 - 2| = |-5| = 5$.
$$\boxed{S = \{-3\,;\,7\}}$$
Erreurs classiques
- Écrire $|x| = x$ en oubliant le cas $x < 0$ : pour $x = -4$, $|-4| = 4$ et non $-4$.
- Croire que $|a + b| = |a| + |b|$ : c'est faux en général, par exemple $|3 + (-3)| = 0 \neq |3| + |-3| = 6$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Valeur absolue et intervalles » (cours et exercices corrigés).