Théorème des valeurs intermédiaires
Maths Terminale
Définition
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme que si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a,b]$. Le corollaire (parfois appelé théorème de la bijection) ajoute que si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, alors cette solution est unique. C'est l'outil de base pour prouver qu'une équation $f(x)=k$ admet une solution.
Formule
$$f \text{ continue sur } [a,b] \;\text{ et }\; k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b) \;\Rightarrow\; \exists\, c\in[a,b],\ f(c)=k$$
Exemple corrigé
Énoncé
Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0,1]$.
Solution
Posons $f(x)=x^3+x-1$.
Continuité. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0,1]$.
Valeurs aux bornes.
$$f(0)=0^3+0-1=-1, \qquad f(1)=1^3+1-1=1.$$
On cherche à résoudre $f(x)=0$, et $0$ est bien compris entre $f(0)=-1$ et $f(1)=1$.
Stricte monotonie. $f$ est dérivable et $f'(x)=3x^2+1$. Comme $3x^2\geq 0$, on a $f'(x)\geq 1>0$ sur $[0,1]$ : $f$ est strictement croissante.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f$ étant continue et strictement croissante sur $[0,1]$ avec $0$ compris entre $f(0)$ et $f(1)$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[0,1]$.
$$\boxed{\exists !\, c\in[0,1],\ c^3+c-1=0}$$
Erreurs classiques
- Oublier de vérifier la continuité de $f$, hypothèse indispensable du théorème.
- Conclure à l'unicité de la solution sans avoir prouvé la stricte monotonie : le TVI seul ne donne que l'existence.
Pour aller plus loin : le chapitre « Continuité et dérivabilité » (cours et exercices corrigés).