Tangente à une courbe
Maths Première
Définition
La tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui « épouse » la courbe en ce point. Son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ et elle passe par le point $A(a\,;\,f(a))$. C'est la droite qui approche le mieux la courbe au voisinage de $a$.
Formule
$$y=f'(a)\,(x-a)+f(a)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Soit $f(x)=x^2$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=1$.
Solution
On a $f(x)=x^2$ donc $f'(x)=2x$.
Au point d'abscisse $a=1$ : $f(1)=1^2=1$ et $f'(1)=2\times 1=2$.
L'équation de la tangente est :
$$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1.$$
Donc $\boxed{y=2x-1}$.
Erreurs classiques
- Utiliser $f(x)$ ou $f'(x)$ au lieu des valeurs numériques $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de la tangente.
- Confondre le point de tangence $A(a\,;\,f(a))$ : on évalue bien $f$ en $a$, pas en $x$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Dérivation » (cours et exercices corrigés).