Suite géométrique
Maths Première
Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre $q$, appelé raison. Autrement dit, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = q \times u_n$. Son terme général s'exprime en fonction du premier terme et d'une puissance de la raison.
Formule
$$u_{n+1} = q \times u_n \qquad u_n = u_0 \times q^{n} \qquad \sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \ (q \neq 1)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$. Calculer $u_5$.
Solution
La suite est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 3$. Le terme général est :
$$u_n = u_0 \times q^n = 3 \times 2^n$$
Pour $n = 5$ :
$$u_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$$
$$\boxed{u_5 = 96}$$
Vérification par récurrence : $u_0=3,\ u_1=6,\ u_2=12,\ u_3=24,\ u_4=48,\ u_5=96$. On multiplie bien par $2$ à chaque étape. ✓
Erreurs classiques
- Confondre l'exposant : avec un premier terme $u_0$, on a $u_n = u_0 \times q^n$ ; mais avec $u_1$, c'est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
- Ajouter la raison au lieu de la multiplier (confusion avec la suite arithmétique).
Pour aller plus loin : le chapitre « Suites numériques » (cours et exercices corrigés).