Suite arithmétique
Maths Première
Définition
Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre $r$, appelé raison. Autrement dit, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n + r$. Son terme général est une fonction affine de $n$.
Formule
$$u_{n+1} = u_n + r \qquad u_n = u_0 + n\,r \qquad \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Calculer $u_{10}$.
Solution
La suite est arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = 5$. Le terme général est :
$$u_n = u_0 + n\,r = 5 + 3n$$
Pour $n = 10$ :
$$u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 5 + 30 = 35$$
$$\boxed{u_{10} = 35}$$
Vérification : $u_0 = 5,\ u_1 = 8,\ u_2 = 11,\dots$ ; on ajoute bien $3$ à chaque étape. ✓
Erreurs classiques
- Se tromper de coefficient devant $r$ : avec $u_0$, c'est $u_n = u_0 + n\,r$ ; avec $u_1$, c'est $u_n = u_1 + (n-1)\,r$.
- Multiplier par la raison au lieu de l'ajouter (confusion avec la suite géométrique).
Pour aller plus loin : le chapitre « Suites numériques » (cours et exercices corrigés).