Second degré
Maths Première
Définition
Une fonction du second degré (ou trinôme) s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On étudie ses racines (solutions de $ax^2+bx+c=0$) grâce au discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Le signe de $\Delta$ indique le nombre de racines : deux si $\Delta > 0$, une si $\Delta = 0$, aucune si $\Delta < 0$.
Formule
$$\Delta = b^2 - 4ac \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Solution
On identifie $a = 2$, $b = -3$ et $c = -2$.
Calcul du discriminant :
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$$
Comme $\Delta = 25 > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes. On a $\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$ :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$
Vérification : $2 \times 2^2 - 3 \times 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. ✓
$$\boxed{S = \left\{ -\tfrac{1}{2}\,;\,2 \right\}}$$
Erreurs classiques
- Erreur de signe dans $-4ac$ quand $c$ est négatif (ici $-4 \times 2 \times (-2) = +16$, pas $-16$).
- Oublier le « $-b$ » au numérateur ou diviser par $a$ au lieu de $2a$ dans la formule des racines.
Pour aller plus loin : le chapitre « Second degré » (cours et exercices corrigés).