Produit scalaire
Maths Première
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel qui mesure leur degré d'alignement. Il s'exprime à partir des normes et de l'angle $\theta$ entre les vecteurs, ou directement à partir des coordonnées dans un repère orthonormé. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Formule
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta=x\,x'+y\,y'$$
Exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, soit $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,-1)$. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et préciser si les vecteurs sont orthogonaux.
Solution
Avec les coordonnées, $\vec{u}\cdot\vec{v}=x x'+y y'$ :
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times 4+3\times(-1)=8-3=5.$$
Comme $\vec{u}\cdot\vec{v}=5\neq 0$, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Donc $\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=5}$ et $\vec{u}$, $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux.
Erreurs classiques
- Croire que le produit scalaire est un vecteur : c'est un nombre réel (un scalaire).
- Oublier que la formule par coordonnées $xx'+yy'$ n'est valable que dans un repère orthonormé.
Pour aller plus loin : le chapitre « Produit scalaire et géométrie repérée » (cours et exercices corrigés).