Probabilité conditionnelle
Maths Première
Définition
La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé, notée $P_A(B)$, mesure la probabilité de $B$ lorsqu'on sait déjà que $A$ s'est produit (avec $P(A)\neq 0$). Elle se calcule comme le quotient de la probabilité de l'intersection $A\cap B$ par la probabilité de $A$. On en déduit la formule des probabilités composées $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
Formule
$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad (P(A)\neq 0)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Dans une classe, $60\%$ des élèves font de l'allemand et, parmi eux, $30\%$ font aussi de l'espagnol. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard fasse à la fois allemand et espagnol ?
Solution
Notons $A$ « l'élève fait de l'allemand » et $E$ « l'élève fait de l'espagnol ».
On a $P(A)=0{,}60$ et $P_A(E)=0{,}30$ (l'espagnol sachant l'allemand).
D'après la formule des probabilités composées :
$$P(A\cap E)=P(A)\times P_A(E)=0{,}60\times 0{,}30=0{,}18.$$
Donc $\boxed{P(A\cap E)=0{,}18}$, soit $18\%$ des élèves.
Erreurs classiques
- Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : ces deux probabilités conditionnelles sont en général différentes.
- Confondre $P(A\cap B)$ (les deux événements) avec $P_A(B)$ (l'un sachant l'autre).
Pour aller plus loin : le chapitre « Probabilités conditionnelles » (cours et exercices corrigés).