Primitive
Maths Terminale
Définition
Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$. Si $f$ admet une primitive, elle en admet une infinité : elles diffèrent toutes d'une constante, et l'ensemble des primitives s'écrit $F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$. La condition initiale (la valeur en un point) permet de déterminer une primitive unique. Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives sur $I$.
Formule
$$F \text{ primitive de } f \text{ sur } I \iff F'=f \text{ sur } I \qquad \text{primitives de } f : \ F(x)+C,\ C\in\mathbb{R}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=3x^2+\dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ telle que $F(1)=0$.
Solution
Primitives générales. On primitive terme à terme. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ (car $(x^3)'=3x^2$). Pour $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$, une primitive est $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$ (car $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}$). Donc :
$$F(x)=x^3-\frac{1}{x}+C, \qquad C\in\mathbb{R}.$$
Condition initiale. On impose $F(1)=0$ :
$$F(1)=1^3-\frac{1}{1}+C=1-1+C=C.$$
Donc $C=0$.
$$\boxed{F(x)=x^3-\frac{1}{x}}$$
Vérification. $F'(x)=3x^2-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=3x^2+\frac{1}{x^2}=f(x).$ Correct.
Erreurs classiques
- Oublier la constante d'intégration $+C$ lorsqu'on cherche l'ensemble des primitives.
- Se tromper de signe en primitivant $x^{-2}$ : la primitive est $-\frac{1}{x}$ et non $\frac{1}{x}$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Intégration » (cours et exercices corrigés).