Nombre premier
Maths Seconde
Définition
Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Par convention, $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… ; $2$ est le seul nombre premier pair. Tout entier supérieur ou égal à $2$ qui n'est pas premier est dit composé et se décompose en produit de facteurs premiers.
Formule
$$n \text{ premier} \iff n\ge 2 \text{ et ses seuls diviseurs sont } 1 \text{ et } n$$
Exemple corrigé
Énoncé
Le nombre $91$ est-il premier ? Justifier.
Solution
Pour tester si $91$ est premier, il suffit de chercher un diviseur premier parmi ceux inférieurs ou égaux à $\sqrt{91}\approx 9{,}5$, c'est-à-dire $2$, $3$, $5$ et $7$.
- $91$ est impair : non divisible par $2$.
- $9+1=10$ n'est pas multiple de $3$ : non divisible par $3$.
- $91$ ne finit ni par $0$ ni par $5$ : non divisible par $5$.
- $91=7\times 13$ : il est divisible par $7$.
Comme $91$ admet un diviseur autre que $1$ et lui-même, il n'est pas premier :
$$\boxed{91=7\times 13 \text{ n'est pas premier (il est composé)}}$$
Erreurs classiques
- Croire que $1$ est un nombre premier : c'est faux, il n'a qu'un seul diviseur.
- Tester la divisibilité par tous les entiers jusqu'à $n$ : il suffit de s'arrêter à $\sqrt{n}$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Arithmétique » (cours et exercices corrigés).