Nombre dérivé
Maths Première
Définition
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$ est la limite, lorsqu'elle existe, du taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ quand $h$ tend vers $0$. On le note $f'(a)$. Géométriquement, il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Il traduit la vitesse de variation instantanée de la fonction en ce point.
Formule
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Soit $f(x)=x^2$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $a=3$ à l'aide de la définition.
Solution
On forme le taux d'accroissement entre $3$ et $3+h$ :
$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h.$$
Lorsque $h\to 0$, ce taux tend vers $6$.
Donc $\boxed{f'(3)=6}$.
Erreurs classiques
- Confondre le nombre dérivé $f'(a)$ (un nombre, le coefficient directeur de la tangente) avec la fonction dérivée $f'$.
- Oublier de simplifier par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$, ce qui conduit à une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Dérivation » (cours et exercices corrigés).