Loi des grands nombres
Maths Terminale
Définition
La loi des grands nombres affirme que lorsqu'on répète un grand nombre de fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité $p$. De même, la moyenne des valeurs prises par une variable aléatoire $X$ tend vers son espérance $E(X)$. Plus le nombre $n$ de répétitions est grand, plus l'écart entre fréquence et probabilité devient petit (avec une grande probabilité).
Formule
$$\overline{X_n} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} E(X)$$
Exemple corrigé
Énoncé
On lance un dé équilibré à six faces un très grand nombre de fois. Vers quelle valeur se rapproche la fréquence d'apparition du chiffre 4 ?
Solution
Le dé étant équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître. La probabilité d'obtenir un 4 lors d'un lancer est :
$$p = \frac{1}{6} \approx 0{,}167.$$
D'après la loi des grands nombres, si l'on note $f_n$ la fréquence d'apparition du 4 sur $n$ lancers, alors $f_n$ se rapproche de $p$ quand $n$ devient grand :
$$f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{6}.$$
Ainsi, après un grand nombre de lancers, la fréquence observée du 4 sera proche de :
$$\boxed{\frac{1}{6} \approx 0{,}167}.$$
Erreurs classiques
- Croire que la loi garantit qu'on obtiendra exactement la proportion théorique (elle ne donne qu'une tendance, valable avec une forte probabilité).
- Confondre fréquence (observée sur des données) et probabilité (valeur théorique vers laquelle elle tend).
Pour aller plus loin : le chapitre « Loi binomiale et échantillonnage » (cours et exercices corrigés).