Loi binomiale
Maths Terminale
Définition
La loi binomiale modélise le nombre $X$ de succès lors de $n$ répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli, où chaque succès a la probabilité $p$. On note $X \sim \mathcal{B}(n;p)$. La variable $X$ prend les valeurs entières de $0$ à $n$, avec une probabilité donnée par les coefficients binomiaux.
Formule
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p)$$
Exemple corrigé
Énoncé
On lance 5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois "pile" ?
Solution
Le nombre $X$ de "pile" suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)$ (5 lancers indépendants, $p = 0{,}5$).
On cherche $P(X = 2)$ :
$$P(X=2) = \binom{5}{2}\,(0{,}5)^2\,(0{,}5)^{3}.$$
Or $\dbinom{5}{2} = \dfrac{5\times 4}{2} = 10$ et $(0{,}5)^2 (0{,}5)^3 = (0{,}5)^5 = \dfrac{1}{32}$.
$$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} = 0{,}3125.$$
Donc $\boxed{P(X=2) = \dfrac{5}{16} = 0{,}3125}$.
Erreurs classiques
- Inverser les exposants : écrire $p^{\,n-k}(1-p)^k$ au lieu de $p^k (1-p)^{n-k}$.
- Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$, qui compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves.
Pour aller plus loin : le chapitre « Loi binomiale et échantillonnage » (cours et exercices corrigés).