Fonction logarithme népérien
Maths Terminale
Définition
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0\,;+\infty[$ comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle : $\ln(x)=y \iff x=e^{y}$. Elle est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, de dérivée $\ln'(x)=\frac{1}{x}$, et strictement croissante. Elle vérifie $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$ et transforme les produits en sommes grâce à sa propriété fondamentale.
Formule
$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b), \quad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b), \quad \ln(a^{n})=n\ln(a), \quad \ln(x)=y \iff x=e^{y}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln 4$.
Solution
Domaine de définition. Les logarithmes existent si $x+2>0$ et $x-1>0$, soit $x>-2$ et $x>1$. La condition est donc $x>1$.
Résolution. On utilise $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ :
$$\ln\big((x+2)(x-1)\big)=\ln 4.$$
La fonction $\ln$ étant strictement croissante (donc injective) :
$$(x+2)(x-1)=4.$$
On développe : $x^2+x-2=4$, soit $x^2+x-6=0$.
Discriminant : $\Delta=1^2-4\times 1\times(-6)=1+24=25>0$. Racines :
$$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3, \qquad x_2=\frac{-1+5}{2}=2.$$
Vérification du domaine. $x_1=-3$ ne vérifie pas $x>1$ : on le rejette. $x_2=2$ convient.
$$\boxed{S=\{2\}}$$
Erreurs classiques
- Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ : c'est faux, la propriété concerne le produit, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
- Oublier de déterminer le domaine de définition et garder une solution qui rend un logarithme non défini (ici $x=-3$).
Pour aller plus loin : le chapitre « Fonction logarithme népérien » (cours et exercices corrigés).