Limite d'une fonction
Maths Terminale
Définition
La limite d'une fonction $f$ décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche d'une valeur $a$ ou tend vers $\pm\infty$. On note $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ si $f(x)$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$. Quand on obtient une forme indéterminée (comme $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$), il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.
Formule
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 5}$.
Solution
Quand $x \to +\infty$, le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur aussi : on obtient la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Pour une fonction rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
$$\frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2\left(3 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{5}{x^2}\right)} = \frac{3 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{5}{x^2}}$$
Lorsque $x \to +\infty$ : $\dfrac{1}{x} \to 0$, $\dfrac{1}{x^2} \to 0$ et $\dfrac{5}{x^2} \to 0$. Le quotient tend donc vers :
$$\frac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = 3$$
Ce résultat correspond bien au quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{3x^2}{x^2} = 3$.
$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 5} = 3}$$
Erreurs classiques
- Conclure « ∞/∞ = 1 » ou « = 0 » sans lever l'indétermination par factorisation.
- Appliquer la règle des termes de plus haut degré pour une limite en un réel $a$ fini (elle n'est valable qu'en $\pm\infty$).
Pour aller plus loin : le chapitre « Limites » (cours et exercices corrigés).