Intervalle
Maths Seconde
Définition
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, sans aucun "trou". Un crochet fermé $[\,]$ inclut la borne, un crochet ouvert $]\,[$ l'exclut ; les bornes infinies $-\infty$ et $+\infty$ s'écrivent toujours avec un crochet ouvert. Par exemple, $[2\,;5[$ contient tous les réels $x$ tels que $2 \leqslant x < 5$.
Formule
$$[a\,;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\} \qquad ]a\,;b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Traduire la condition $-3 \leqslant x < 4$ sous forme d'intervalle, puis déterminer l'intersection $[-3\,;4[\ \cap\ ]1\,;7]$.
Solution
Traduction en intervalle.
La condition $-3 \leqslant x < 4$ inclut $-3$ (inégalité large) et exclut $4$ (inégalité stricte), donc :
$$x \in [-3\,;4[$$
Intersection des deux intervalles.
L'intersection rassemble les réels appartenant aux deux intervalles à la fois. On cherche les $x$ vérifiant simultanément $-3 \leqslant x < 4$ et $1 < x \leqslant 7$.
La borne inférieure est la plus grande des deux : $1$ (exclu). La borne supérieure est la plus petite des deux : $4$ (exclu).
$$\boxed{[-3\,;4[\ \cap\ ]1\,;7] = ]1\,;4[}$$
Erreurs classiques
- Mettre un crochet fermé sur l'infini : on écrit toujours $]-\infty\,;3]$ et jamais $[-\infty\,;3]$.
- Confondre intersection (les deux conditions à la fois) et réunion (au moins une condition) lors d'une combinaison d'intervalles.
Pour aller plus loin : le chapitre « Valeur absolue et intervalles » (cours et exercices corrigés).