Intégrale
Maths Terminale
Définition
L'intégrale d'une fonction $f$ continue et positive sur $[a;b]$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$. On la calcule à l'aide d'une primitive $F$ de $f$ grâce au théorème fondamental de l'analyse. Si $f$ change de signe, l'intégrale est une aire algébrique (les parties sous l'axe comptent négativement).
Formule
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{où } F'=f$$
Exemple corrigé
Énoncé
Calculer $\displaystyle \int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$.
Solution
On cherche une primitive de $f(x) = 3x^2 + 1$.
Une primitive est $F(x) = x^3 + x$ (car $F'(x) = 3x^2 + 1$).
On applique le théorème fondamental :
$$\int_0^2 (3x^2+1)\,dx = F(2) - F(0)$$
$$= (2^3 + 2) - (0^3 + 0) = (8+2) - 0 = 10.$$
Donc $\boxed{\displaystyle \int_0^2 (3x^2+1)\,dx = 10}$.
Erreurs classiques
- Oublier l'orientation : écrire $F(a)-F(b)$ au lieu de $F(b)-F(a)$, ce qui change le signe du résultat.
- Confondre intégrale et aire quand $f$ est négative : une intégrale peut être négative, alors qu'une aire géométrique est toujours positive.
Pour aller plus loin : le chapitre « Intégration » (cours et exercices corrigés).