Inéquation du premier degré
Maths Seconde
Définition
Une inéquation du premier degré à une inconnue $x$ est une inéquation qui peut s'écrire, après transformation, sous l'une des formes $ax+b<0$, $ax+b\le 0$, $ax+b>0$ ou $ax+b\ge 0$ avec $a\neq 0$. Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la vérifient ; l'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle. Règle essentielle : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
Formule
$$ax+b<0 \iff \begin{cases} x<-\dfrac{b}{a} & \text{si } a>0 \\[4pt] x>-\dfrac{b}{a} & \text{si } a<0 \end{cases}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-3x+5<2x-10$.
Solution
On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre :
$$-3x+5<2x-10$$
On soustrait $2x$ aux deux membres :
$$-3x-2x+5<-10 \iff -5x+5<-10$$
On soustrait $5$ :
$$-5x<-15$$
On divise les deux membres par $-5$ : comme $-5<0$, on inverse le sens de l'inégalité :
$$x>\frac{-15}{-5} \iff x>3$$
L'ensemble des solutions est :
$$\boxed{S=\left]3\,;\,+\infty\right[}$$
Erreurs classiques
- Oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif.
- Confondre crochet ouvert et fermé : une inégalité stricte ($<$) donne un crochet ouvert, $\le$ donne un crochet fermé.
Pour aller plus loin : le chapitre « Équations et inéquations » (cours et exercices corrigés).