Forme canonique
Maths Première
Définition
La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) est son écriture sous la forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$. Le couple $(\alpha, \beta)$ donne directement les coordonnées du sommet de la parabole et permet de lire le sens de variation et l'extremum de la fonction.
Formule
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \quad \text{avec} \quad \alpha = \dfrac{-b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Mettre $f(x) = x^2 - 6x + 11$ sous forme canonique et en déduire le sommet de la parabole.
Solution
Ici $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$. On calcule l'abscisse du sommet :
$$\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$$
Puis l'ordonnée :
$$\beta = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$$
La forme canonique est donc :
$$f(x) = (x - 3)^2 + 2$$
Vérification en développant : $(x-3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$. ✓
$$\boxed{f(x) = (x - 3)^2 + 2, \quad \text{sommet } S(3\ ;\ 2)}$$
Comme $a = 1 > 0$, la fonction admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 3$.
Erreurs classiques
- Se tromper de signe dans $\alpha$ : l'abscisse du sommet est $\frac{-b}{2a}$ et la forme s'écrit $(x-\alpha)^2$.
- Oublier de multiplier par $a$ lorsque $a \neq 1$ : la factorisation porte sur $a$ devant tout le carré.
Pour aller plus loin : le chapitre « Second degré » (cours et exercices corrigés).