Fonction inverse
Maths Seconde
Définition
La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ : elle n'est pas définie en $0$. Sa courbe représentative est une hyperbole dont les deux branches sont symétriques par rapport à l'origine. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ tout entier.
Formule
$$f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \qquad f(-x) = -f(x) \quad (\text{fonction impaire})$$
Exemple corrigé
Énoncé
Comparer $\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{1}{8}$ à l'aide des variations de la fonction inverse, puis résoudre $\dfrac{1}{x} = 4$.
Solution
Comparaison.
Les nombres $5$ et $8$ appartiennent à $]0\,;+\infty[$, où la fonction inverse est décroissante.
Comme $5 < 8$, la décroissance inverse l'ordre :
$$5 < 8 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{5} > \frac{1}{8}$$
Résolution de $\dfrac{1}{x} = 4$.
Avec $x \neq 0$, on peut multiplier les deux membres par $x$ :
$$1 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{4}$$
Vérification : $\dfrac{1}{1/4} = 4$.
$$\boxed{\frac{1}{5} > \frac{1}{8} \quad \text{et} \quad x = \frac{1}{4}}$$
Erreurs classiques
- Affirmer que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : elle décroît sur chacun des deux intervalles, mais pas de l'un à l'autre (ex. $\tfrac{1}{-2} < \tfrac{1}{2}$).
- Oublier que $0$ est interdit : $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas, le domaine est $\mathbb{R}^*$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Fonctions de référence » (cours et exercices corrigés).