Fonction exponentielle
Maths Première
Définition
La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x\mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$. Elle est strictement positive, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et vérifie la relation fonctionnelle $e^{a+b}=e^a\times e^b$. Le réel $e\approx 2{,}718$ est sa valeur en $1$.
Formule
$$\exp'=\exp,\qquad e^0=1,\qquad e^{a+b}=e^a\times e^b$$
Exemple corrigé
Énoncé
Simplifier l'expression $A=\dfrac{e^{2x}\times e^{3}}{e^{x}}$, puis calculer la dérivée de $f(x)=e^{2x}$.
Solution
Avec les propriétés algébriques de l'exponentielle :
$$A=\frac{e^{2x}\times e^{3}}{e^{x}}=\frac{e^{2x+3}}{e^{x}}=e^{(2x+3)-x}=e^{x+3}.$$
Pour la dérivée de $f(x)=e^{2x}$, on pose $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$, et $(e^{u})'=u'e^{u}$ :
$$f'(x)=2\,e^{2x}.$$
Donc $\boxed{A=e^{x+3}\quad\text{et}\quad f'(x)=2e^{2x}}$.
Erreurs classiques
- Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ : l'exponentielle transforme une somme en produit, pas en somme.
- Oublier le facteur $u'$ en dérivant $e^{u}$ : la dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$, pas $e^{2x}$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Fonction exponentielle » (cours et exercices corrigés).