Fonction carré
Maths Seconde
Définition
La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Sa courbe représentative est une parabole de sommet l'origine $O(0\,;0)$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; elle admet $0$ comme minimum.
Formule
$$f(x) = x^2 \qquad f(-x) = f(x) \quad (\text{fonction paire})$$
Exemple corrigé
Énoncé
Comparer $(-4)^2$ et $(-2)^2$ sans calculatrice, en utilisant le sens de variation de la fonction carré.
Solution
Position des nombres.
Les deux antécédents $-4$ et $-2$ appartiennent à l'intervalle $]-\infty\,;0]$, sur lequel la fonction carré est décroissante.
Application de la décroissance.
On a $-4 < -2$. Comme $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, elle inverse l'ordre :
$$-4 < -2 \quad\Longrightarrow\quad f(-4) > f(-2)$$
c'est-à-dire $(-4)^2 > (-2)^2$.
Vérification : $(-4)^2 = 16$ et $(-2)^2 = 4$, et bien $16 > 4$.
$$\boxed{(-4)^2 > (-2)^2}$$
Erreurs classiques
- Croire que la fonction carré est croissante partout : elle décroît sur $]-\infty\,;0]$, donc un nombre plus petit peut avoir un carré plus grand.
- Écrire $(-x)^2 = -x^2$ : en réalité $(-x)^2 = x^2$, par exemple $(-3)^2 = 9$ et non $-9$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Fonctions de référence » (cours et exercices corrigés).