Factorielle
Maths Terminale
Définition
La factorielle d'un entier naturel $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à $n$. Par convention, $0! = 1$. Elle compte le nombre de permutations (rangements ordonnés) de $n$ objets distincts et apparaît dans les coefficients binomiaux.
Formule
$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n, \qquad 0! = 1, \qquad n! = n \times (n-1)!$$
Exemple corrigé
Énoncé
De combien de façons différentes peut-on ranger 5 livres distincts sur une étagère ? Calculer $5!$.
Solution
Ranger 5 livres distincts dans un ordre revient à compter les permutations de 5 objets, soit $5!$.
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1.$$
On calcule de proche en proche :
$$5 \times 4 = 20,\quad 20 \times 3 = 60,\quad 60 \times 2 = 120,\quad 120 \times 1 = 120.$$
Il y a donc $\boxed{5! = 120}$ rangements possibles.
Erreurs classiques
- Croire que $0! = 0$ : par convention $0! = 1$.
- Confondre $n!$ avec $n^2$ ou avec une somme : la factorielle est un produit d'entiers consécutifs, pas une somme.
Pour aller plus loin : le chapitre « Combinatoire et dénombrement » (cours et exercices corrigés).