Espérance d'une variable aléatoire
Maths Première
Définition
L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire est la moyenne des valeurs prises par $X$, pondérée par leurs probabilités. Elle représente le gain (ou résultat) moyen que l'on obtiendrait en répétant un très grand nombre de fois l'expérience. Un jeu est dit équitable lorsque $E(X) = 0$.
Formule
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X = x_i)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Un jeu coûte $2$ € la partie. On gagne $5$ € avec probabilité $0{,}3$ et $0$ € sinon. Soit $X$ le gain algébrique d'un joueur. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Solution
Le gain algébrique tient compte de la mise de $2$ €.
- Si le joueur gagne ($p = 0{,}3$) : il reçoit $5$ € mais a payé $2$ €, donc $X = 5 - 2 = 3$.
- S'il perd ($p = 0{,}7$) : il reçoit $0$ € et a payé $2$ €, donc $X = 0 - 2 = -2$.
Loi de $X$ :
| $x_i$ | $3$ | $-2$ |
|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}3$ | $0{,}7$ |
Calcul de l'espérance :
$$E(X) = 3 \times 0{,}3 + (-2) \times 0{,}7 = 0{,}9 - 1{,}4 = -0{,}5$$
Comme $E(X) = -0{,}5 < 0$, le joueur perd en moyenne $0{,}50$ € par partie : le jeu est défavorable au joueur.
$$\boxed{E(X) = -0{,}5 \text{ €, jeu défavorable}}$$
Erreurs classiques
- Oublier de retrancher la mise et calculer l'espérance sur le gain brut au lieu du gain algébrique.
- Calculer une moyenne simple des valeurs sans les pondérer par leurs probabilités.
Pour aller plus loin : le chapitre « Variables aléatoires réelles » (cours et exercices corrigés).